ArithmétiqueFormule · Glossaire
identité de Rogers-Ramanujan
Une partition d'un entier positif est une écriture de cet entier comme somme d'entiers strictement positifs, sans tenir compte de l'ordre. Pour tout entier positif n, le nombre de partitions dont les parts, rangées en ordre non croissant, ont des écarts consécutifs d'au moins 2 est égal à celui des partitions en parts congrues à 1 ou 4 modulo 5. Le nombre de partitions dont les parts, rangées en ordre non croissant, ont des écarts consécutifs d'au moins 2 et sont toutes au moins égales à 2 est égal à celui des partitions en parts congrues à 2 ou 3 modulo 5.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Distinguer les deux identités et leurs restes autorisés modulo 5.
- Vérifier les deux égalités pour les partitions de 6.
- Repérer les erreurs liées à l’ordre, aux répétitions et à la borne minimale 2.
En clair
Écrivons 6 comme une somme, sans distinguer l’ordre des termes. On peut alors trier les partitions selon deux règles qui semblent sans rapport. La première impose de laisser au moins 2 entre deux parts. La seconde autorise seulement certains restes après division par 5.
Les identités de Rogers-Ramanujan affirment que ces deux tris donnent exactement le même nombre de partitions. Il existe deux versions de cette égalité, avec des restes autorisés différents.
Définition
Une partition d’un entier positif n est une somme d’entiers strictement positifs, appelée parts, dans laquelle l’ordre ne compte pas. Pour appliquer un critère d’écart, on range les parts de la plus grande à la plus petite. Dire qu’elles diffèrent deux à deux d’au moins 2 revient alors à demander un écart d’au moins 2 entre chaque paire de parts consécutives.
La première identité de Rogers-Ramanujan met en égalité deux nombres. D’un côté, on compte les partitions dont les parts ont ces écarts. De l’autre, on compte celles dont chaque part laisse le reste 1 ou 4 dans la division par 5. La seconde identité conserve la condition d’écart, ajoute que chaque part vaut au moins 2, puis la compare aux partitions dont chaque part laisse le reste 2 ou 3 modulo 5.
Les égalités portent sur le nombre de partitions dans chaque classe, non sur une ressemblance terme à terme des sommes. Elles admettent des démonstrations analytiques et combinatoires. Leonard James Rogers les a établies en 1894 ; Srinivasa Ramanujan les a redécouvertes indépendamment en 1913.
Le principe
Soit n un entier positif. Une partition est écrite sous la forme d’une suite de parts λ1, …, λk rangées en ordre non croissant. La première identité s’énonce ainsi :
Le symbole # indique le nombre de partitions qui satisfont la condition. La seconde identité impose en plus que la plus petite part soit au moins égale à 2 du côté des écarts :
Dans chaque congruence, la condition vaut pour toutes les parts de la partition.
Quand l'utiliser
Les deux identités s’appliquent aux partitions d’un même entier positif n. Les parts sont des entiers strictement positifs et leur ordre ne crée pas de nouvelle partition. Pour le côté « écart », il faut ranger les parts en ordre décroissant et contrôler que chaque écart consécutif vaut au moins 2. Dans la seconde identité, la plus petite part doit en plus valoir au moins 2. Pour le côté « modulo 5 », chaque part doit avoir l’un des deux restes autorisés.
Si l’ordre des termes est pris en compte, 5 + 1 et 1 + 5 deviennent deux écritures différentes : on compte alors des compositions, et ces identités de partitions ne s’appliquent pas. Il faut revenir à des sommes où l’ordre est ignoré.
Un exemple, pas à pas
Prenons l’entier n = 6. Les données à contrôler sont la somme 6, les écarts entre parts rangées en ordre décroissant, leur plus petite valeur et leurs restes modulo 5.
1. Avec un écart d’au moins 2, les partitions possibles sont 6, 5 + 1 et 4 + 2. Il y en a 3.
2. Avec seulement des parts congrues à 1 ou 4 modulo 5, on obtient 6, 4 + 1 + 1 et 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1. Il y en a aussi 3.
3. Pour la seconde identité, la condition d’écart et l’exigence que la plus petite part soit au moins 2 laissent 6 et 4 + 2, soit 2 partitions.
4. Avec seulement des parts congrues à 2 ou 3 modulo 5, on trouve 3 + 3 et 2 + 2 + 2, soit encore 2 partitions.
Le contrôle consiste à refaire chaque somme et à recompter : 3 = 3 pour la première identité, puis 2 = 2 pour la seconde. Une représentation par bandes unitaires permet aussi de vérifier les sommes et les multiplicités.
En pratique
Pour énumérer une classe de partitions, on peut choisir le côté dont la contrainte est la plus directe à tester. Un filtre par restes modulo 5 évite alors de calculer tous les écarts, tandis que le filtre par écarts évite de tester chaque reste.
Pour contrôler un décompte fait à la main ou par un programme, on calcule séparément les deux côtés pour le même entier. Une différence de totaux signale une partition oubliée, comptée deux fois ou rangée dans la mauvaise classe.
Pour étudier le résultat, une démonstration combinatoire cherche à relier les objets comptés, tandis qu’une démonstration analytique établit l’égalité par le calcul. Les deux voies sont attestées pour ces identités.
À ne pas confondre
Partition et composition. Dans une partition, l’ordre est ignoré ; dans une composition, il compte. Ainsi, 5 + 1 et 1 + 5 représentent une seule partition de 6, mais deux compositions.
Congruence des parts et congruence de l’entier. La règle modulo 5 porte sur chaque part, pas sur n. Dans 3 + 3, chaque part a pour reste 3, même si la somme 6 a pour reste 1.
Limites et pièges
Ne pas apparier les sommes une à une. Pour n = 6, 5 + 1 satisfait la règle d’écart, mais ses parts ne sont pas toutes congrues à 1 ou 4 modulo 5. Il faut comparer les deux nombres totaux, pas les mêmes partitions.
Ne pas interdire les répétitions du côté modulo 5. Les parts 3 et 3 sont égales, mais 3 + 3 appartient bien au côté modulaire de la seconde identité. La condition d’écart ne concerne que l’autre classe.
Conserver la borne 2 dans la seconde identité. Si on l’enlève, le cas charnière n = 1 donne une partition, 1, du côté des écarts et aucune avec des parts de reste 2 ou 3 modulo 5. L’égalité échoue.
Rester dans le domaine annoncé. La formulation donnée concerne les entiers positifs. Le cas 0 exige une convention sur la partition vide ; il ne doit pas être ajouté sans l’énoncer.
Pour aller plus loin
Congruence modulo n précise le vocabulaire des restes utilisé pour classer chaque part.
Arithmétique modulaire replace les conditions modulo 5 dans leur cadre de calcul.
Une corne d’abondance prolonge la découverte de l’univers mathématique associé à Ramanujan.
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