Luzin Nikolai

En 1915, à Moscou, Nikolaï Luzin soutient une thèse sur l’intégrale et les séries trigonométriques, puis devient professeur à l’université. Son influence dépasse ses propres recherches : avec Dmitri Egorov, il anime dans les années 1920 une école où se forment notamment Pavel Alexandrov, Andreï Kolmogorov et Alexandre Khintchine.

Son résultat le plus célèbre dit, en substance, qu’une fonction mesurable peut se comporter comme une fonction continue dès que l’on met de côté un ensemble aussi petit qu’on le souhaite.

Nikolaï Nikolaïevitch Luzin (1883-1950) est un mathématicien russe de l’analyse réelle et de la théorie des ensembles. Son nom apparaît aussi sous les formes Lusin, Louzin et Louzine. À l’université de Moscou, il attire l’attention de Dmitri Egorov. Il séjourne à Göttingen en 1910 et y rencontre Edmund Landau. En 1915, il soutient à Moscou sa thèse L’intégrale et les séries trigonométriques, puis devient professeur à l’université.

Avec Egorov, Luzin compte parmi les fondateurs et animateurs de l’école mathématique de Moscou, active dans les années 1920. Le groupe de jeunes chercheurs formé sous son influence, surnommé la « Lusitanie », compte notamment Pavel Alexandrov, Andreï Kolmogorov et Alexandre Khintchine. Ses travaux couvrent la théorie de la mesure, les fonctions analytiques, les équations différentielles et leur interprétation géométrique.

Le théorème de Luzin, également nommé théorème de Lusin, concerne une fonction mesurable sur un ensemble de mesure finie. Pour toute tolérance positive choisie sur la mesure, on peut écarter une partie de mesure inférieure à cette tolérance afin que la restriction de la fonction à l’ensemble restant soit continue. Cette conclusion porte sur la restriction obtenue, et non sur la continuité de la fonction au départ. En 1936, Luzin est accusé d’« anti-soviétisme » au cours d’une procédure politique, mais il échappe à la condamnation.

Considérons sur l’intervalle de 0 à 1 une fonction mesurable en escalier : elle vaut 0 avant 0,5 et 1 à partir de 0,5. Les données sont l’intervalle de longueur 1, l’unique saut en 0,5 et une tolérance de mesure égale à 0,03.

1. On écarte l’intervalle ouvert allant de 0,49 à 0,51.
2. Sa mesure vaut exactement 0,51 − 0,49 = 0,02.
3. L’ensemble restant est formé des intervalles de 0 à 0,49 et de 0,51 à 1.
4. Sur le premier morceau, la fonction reste constante à 0 ; sur le second, elle reste constante à 1.

La restriction est donc continue sur l’ensemble restant. Le contrôle est direct : le seul saut, situé en 0,5, appartient à la partie écartée, dont on retrouve la mesure en soustrayant ses deux bornes. Cet exemple illustre le mécanisme du théorème ; il ne constitue pas sa démonstration générale.

Dans un texte d’analyse, le nom de Luzin signale souvent le théorème sur les fonctions mesurables. Le bon geste consiste alors à repérer trois éléments : une mesure finie, une tolérance arbitrairement petite et la continuité obtenue après restriction.

Dans une référence bibliographique, Lusin, Louzin ou Louzine peuvent désigner le même mathématicien. Il faut privilégier l’identification par le prénom Nikolaï, les dates 1883-1950 et le contexte mathématique, plutôt que conclure à plusieurs auteurs.

Pour situer son influence, on peut suivre la filiation de l’école de Moscou : Luzin et Egorov l’animent dans les années 1920, tandis que la « Lusitanie » nomme le groupe de jeunes mathématiciens formé autour d’eux.

Luzin et la « Lusitanie ». Luzin est une personne ; la « Lusitanie » est le nom donné au groupe de jeunes mathématiciens formé sous son influence. La présence de Pavel Alexandrov, Andreï Kolmogorov ou Alexandre Khintchine dans le propos indique que l’on parle du groupe.

Le mathématicien et son théorème. Une mention de 1883-1950, de Moscou ou de Göttingen concerne la biographie de Nikolaï Luzin. Une mention de fonction mesurable, de mesure finie et d’une partie arbitrairement petite concerne le théorème qui porte son nom.

« Presque partout » ne signifie pas « partout ». Le symptôme du contresens est l’affirmation que toute fonction mesurable est continue. Il faut conserver la restriction : une partie de mesure arbitrairement petite est écartée avant d’obtenir la continuité sur ce qui reste.

La mesure finie est une hypothèse. Si le domaine annoncé n’est pas de mesure finie, la formulation donnée ici ne s’applique pas telle quelle. Il faut d’abord vérifier le cadre exact du résultat utilisé au lieu de supprimer cette condition.

Une accusation n’est pas une condamnation. En 1936, Luzin est accusé d’« anti-soviétisme » dans une procédure politique, mais il échappe à la condamnation. Résumer cet épisode en disant qu’il a été condamné contredirait la source.

La notion de fonction mesurable précise le type de fonction auquel s’applique le théorème de Luzin.

Le portrait de Kolmogorov Andreï prolonge l’histoire de l’école de Moscou à travers l’un des mathématiciens formés dans la « Lusitanie ».