nombre chanceux d'Euler

Prenons le nombre 5 et ajoutons-le à n² + n. Pour n égal à 0, 1, 2 puis 3, on obtient 5, 7, 11 puis 17 : quatre nombres premiers d'affilée. Cette réussite sur toute la plage demandée fait de 5 un nombre chanceux d'Euler. La propriété est rare : seuls 2, 3, 5, 11, 17 et 41 la possèdent.

Un nombre chanceux d'Euler est un entier naturel, noté p, strictement supérieur à 1. On lui associe le polynôme Pₚ, dont la valeur à l'entier n est donnée par :

Le nombre p est chanceux lorsque Pₚ(n) est premier pour chaque entier n compris entre 0 et p − 2, bornes incluses. Il ne suffit donc pas que quelques valeurs soient premières : toute cette plage doit réussir. Une écriture équivalente emploie le polynôme Qₚ défini par $Q_p(n)=n^2-n+pQ\_p(n)=n^2-n+p$ et demande des valeurs premières pour chaque entier n de 1 à p − 1. L'équivalence vient de l'identité $Q_p(n)=P_p(n-1)Q\_p(n)=P\_p(n-1)$, qui décale simplement les indices d'une unité. La liste exhaustive est 2, 3, 5, 11, 17 et 41. Euler en a établi la liste complète et François Le Lionnais leur a donné leur nom ; il est démontré qu'aucun autre entier ne convient.

Testons le candidat p = 5. Le schéma récapitule chaque entrée exigée et la valeur première obtenue.

Données.
Le candidat est p = 5.
Le polynôme est P₅(n) = n² + n + 5.
Les entiers à tester vont de 0 à p − 2, soit de 0 à 3.

Étape 1. On remplace successivement n par 0, 1, 2 et 3 dans le polynôme.

Étape 2. Les quatre résultats 5, 7, 11 et 17 sont premiers. Toutes les valeurs de la plage imposée réussissent donc le test.

Résultat. Le nombre 5 est un nombre chanceux d'Euler.

Contrôle de la borne. L'entier suivant est n = 4, égal à p − 1. Il donne P₅(4) = 4² + 4 + 5 = 25, qui n'est pas premier puisqu'il vaut 5 × 5. Cet échec ne contredit pas le résultat : la définition s'arrête à n = 3.

Pour tester un petit candidat p, on écrit d'abord tous les entiers de 0 à p − 2, puis on calcule Pₚ(n) pour chacun. Si une seule valeur est composée, le candidat est rejeté ; sinon, il satisfait le critère sur toute la plage.

Un échec précoce évite les calculs suivants. Pour p = 7, la valeur n = 1 donne 1² + 1 + 7 = 9. Comme 9 vaut 3 × 3, le nombre 7 n'est pas chanceux, même s'il est lui-même premier.

Pour parcourir les indices dans l'autre sens, on peut employer Qₚ(n) de 1 à p − 1. Le choix entre Pₚ et Qₚ dépend seulement de la plage d'indices la plus commode : les deux tests portent sur les mêmes valeurs.

Un nombre chanceux d'Euler n'est pas simplement un nombre premier. La condition n = 0 impose bien que p soit premier, car Pₚ(0) = p, mais cette condition n'est pas suffisante. Le cas p = 7 tranche : 7 est premier, tandis que P₇(1) = 9 est composé.

La formule ne promet pas des nombres premiers pour tout entier n. La borne p − 2 fait partie de la propriété. Avec p = 5, les valeurs sont premières jusqu'à n = 3, puis P₅(4) = 25 est composé dès l'indice suivant.

Vérifier seulement que p est premier constitue un test incomplet. Le symptôme est un candidat comme 7, qui passe à n = 0 mais échoue à n = 1 avec 9. Il faut contrôler chaque entier de l'intervalle requis jusqu'au premier échec.

Le paramètre doit être un entier naturel strictement supérieur à 1. Enfin, la liste 2, 3, 5, 11, 17 et 41 n'est pas une sélection d'exemples : elle est exhaustive. Chercher un septième nombre chanceux d'Euler ne peut donc qu'aboutir à un échec du critère.

La fiche nombre premier précise le critère que chacune des valeurs du polynôme doit satisfaire.

La fiche arithmétique replace la divisibilité et les nombres premiers dans le domaine auquel appartient cette notion.