GéométrieObjet géométrique · Glossaire
polyèdre pseudo-régulier
Un polyèdre pseudo-régulier est un polyèdre dont toutes les faces sont isométriques entre elles, sans que soit imposée la condition habituelle d'un même nombre d'arêtes en chaque sommet. Cette définition constitue donc un affaiblissement de celle du polyèdre régulier, en relâchant la contrainte de régularité aux sommets tout en maintenant l'uniformité des faces. Les bipyramides, également appelées diamants, constituent un exemple typique de cette famille : elles s'obtiennent en joignant deux pyramides dont les bases sont isométriques.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Définir la régularité partielle portée par les faces.
- Reconnaître une bipyramide construite avec deux pyramides.
- Vérifier sur un exemple que les huit faces ont les côtés 2, √6 et √6.
- Distinguer faces isométriques et polyèdre régulier.
En clair
Imaginez un solide formé de plusieurs pièces triangulaires. Si chaque face a exactement la même forme et les mêmes dimensions qu'une autre, on peut parler d'un polyèdre pseudo-régulier, même si l'organisation des sommets n'est pas parfaitement uniforme. Une bipyramide, ou diamant, donne une image simple : deux pyramides sont réunies par une base commune. On reconnaît donc la famille en regardant d'abord les faces, puis en vérifiant si la régularité demandée aux sommets est, elle aussi, présente.
Définition
Un polyèdre pseudo-régulier est un polyèdre dont toutes les faces sont isométriques deux à deux : elles ont donc les mêmes longueurs de côtés et les mêmes angles. La condition porte sur les faces, mais n'impose pas la condition usuelle d'un même nombre d'arêtes incidentes à chaque sommet. Le terme désigne ainsi une régularité partielle, moins exigeante que celle d'un polyèdre régulier.
Une bipyramide s'obtient en joignant deux pyramides dont les bases sont isométriques. Pour que cet assemblage fournisse un exemple de la famille, les faces triangulaires obtenues doivent toutes être isométriques ; la seule isométrie des bases ne suffit donc pas à elle seule à le garantir dans toute construction. La figure conductrice utilise une base carrée et deux sommets symétriques, ce qui rend les huit faces latérales congruentes.
De quoi c'est fait
Dans une bipyramide, le polygone de base est partagé par deux pyramides placées de part et d'autre de son plan. Ses côtés deviennent des arêtes communes aux faces latérales ; les deux sommets ajoutés sont les apex. Dans l'exemple à base carrée, la base possède quatre sommets et quatre côtés, et l'assemblage produit huit faces triangulaires.
Prenons les sommets de la base aux coordonnées (1,1,0), (−1,1,0), (−1,−1,0) et (1,−1,0), avec les apex A=(0,0,2) et B=(0,0,−2). Chaque côté de la base mesure 2. La distance d'un apex à chacun des sommets de la base vaut ; chaque face latérale a donc le même triplet de longueurs (2, , ).
Un exemple, pas à pas
Considérons la bipyramide dont la base carrée a pour sommets (1,1,0), (−1,1,0), (−1,−1,0) et (1,−1,0), et dont les apex sont A=(0,0,2) et B=(0,0,−2). On vérifie une face, par exemple le triangle formé par A et les deux premiers sommets de la base.
Le côté de base vaut 2. Pour l'arête reliant A à (1,1,0), le vecteur est (1,1,−2), donc sa longueur vérifie . Par symétrie, les trois autres arêtes issues de A ont aussi pour longueur √6. Le même calcul vaut pour B.
Les huit faces sont donc des triangles de côtés 2, √6 et √6 : elles sont isométriques entre elles. Elles ne sont toutefois pas équilatérales, puisque √6 n'est pas égal à 2. Le solide est ainsi pseudo-régulier au sens de la définition retenue, mais pas régulier au sens habituel des polyèdres réguliers.
En pratique
Pour examiner un polyèdre, commencez par comparer les faces : choisissez une face de référence et contrôlez les longueurs de côtés et les angles des autres. Ensuite, observez les sommets et comptez les arêtes qui y arrivent. Une variation de ce nombre n'empêche pas la première propriété, mais elle signale que la régularité des sommets n'est pas acquise.
Avec une bipyramide, il est pratique de vérifier une face au-dessus de la base et une face au-dessous. Dans l'exemple carré, leurs côtés sont tous 2, √6 et √6 ; cette répétition suffit à contrôler les huit faces par symétrie.
À ne pas confondre
Un polyèdre pseudo-régulier ne se confond pas avec un polyèdre régulier. Le premier exige ici l'isométrie des faces, tandis que le second ajoute les conditions usuelles de régularité des faces et de disposition uniforme des sommets. La bipyramide carrée de l'exemple tranche immédiatement : ses faces sont congruentes, mais elles sont isocèles et non équilatérales.
Il ne faut pas non plus confondre « faces isométriques » et « bases isométriques ». Deux bases peuvent avoir la même forme sans que toutes les faces latérales de l'assemblage aient la même forme. Il faut comparer les triangles réellement présents dans le polyèdre.
Limites et pièges
Le mot pseudo-régulier n'a pas une portée totalement uniforme selon les classifications géométriques. Dans cette fiche, il suit la définition fournie : toutes les faces sont isométriques, sans imposer un même nombre d'arêtes à chaque sommet. Pour comparer des sources, il faut donc vérifier leur convention avant d'étendre le terme à d'autres familles.
Une bipyramide n'est pas automatiquement pseudo-régulière parce qu'elle possède deux pyramides à bases isométriques. Si les hauteurs ou la position des apex changent les longueurs des arêtes latérales, les faces peuvent devenir différentes. Le test à faire est concret : comparer les côtés et les angles de chaque type de face.
Dans l'exemple, le triplet (2, √6, √6) est distinct du triplet (2,2,2) d'un triangle équilatéral. L'isométrie des faces est donc vérifiée, mais la régularité complète ne l'est pas. Une conclusion de régularité exige des contrôles supplémentaires, pas seulement une répétition visuelle des faces.
Pour aller plus loin
Pour prolonger l'étude, on peut comparer cette régularité des faces à la régularité des sommets : la première se lit face par face, la seconde autour de chaque sommet. Cette double lecture aide à décrire précisément les solides qui partagent une symétrie visuelle sans satisfaire les mêmes conditions géométriques.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres