problème de l'échiquier de Sissa

Posez 1 grain sur une première case, puis 2, 4, 8 et 16 sur les suivantes. L'ajout paraît encore modeste, mais chaque case reçoit autant de grains que toutes les précédentes réunies, plus un.

Après huit cases, la dernière porte 128 grains et le total atteint déjà 255. Sur 64 cases, les doublements ne produisent donc pas 64 fois la quantité initiale : ils conduisent à plus de 18 milliards de milliards de grains. C'est la surprise centrale de l'échiquier de Sissa.

Le problème de l'échiquier de Sissa applique une croissance exponentielle à 64 cases. Si le numéro n désigne une case, en comptant la première comme n = 1, le nombre de grains placé sur cette case vaut 2^{n − 1}. La suite 1, 2, 4, 8, … est géométrique : chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par 2.

Le total après n cases est la somme des quantités déposées depuis la première case. Il vérifie : ${\sum }_{k=0}^{n-1}{2}^k=2^n-1\backslash sum\_\{k=0\}^\{n-1\}2^k=2^n-1$. Pour n = 64, la dernière case porte exactement 2⁶³ = 9 223 372 036 854 775 808 grains, tandis que l'échiquier entier en porte exactement 2⁶⁴ − 1 = 18 446 744 073 709 551 615.

Le récit est une légende liée à l'invention des échecs, et non une origine historique établie. La source mentionne un récit rapporté par Ibn Khallikan en 1256 ainsi qu'une autre tradition situant cette origine en Inde environ 3000 ans avant J.-C. ; cette chronologie demeure controversée. Le calcul, lui, ne dépend que de la règle de doublement et du nombre de cases.

Suivons d'abord les huit premières cases. Les données sont une première quantité de 1 grain, un doublement à chaque nouvelle case et un arrêt à la huitième case.

1. Les huit quantités sont 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 et 128 grains. Chaque nombre est bien le double du précédent.

2. Additionnons-les : 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 = 255 grains. La figure met en regard la quantité de chaque case et le total cumulé.

3. La formule du total donne le même résultat : 2⁸ − 1 = 256 − 1 = 255. Le contrôle est refaisable sans formule : la huitième case porte 128 grains et les sept premières en portent ensemble 127, soit 255 au total.

4. Remplaçons 8 par 64 : $2^{64}-1=184467440737095516152^\{64\}-1=18\backslash ,446\backslash ,744\backslash ,073\backslash ,709\backslash ,551\backslash ,615$. Ce nombre exact est légèrement supérieur à 1,8 × 10¹⁹, l'ordre de grandeur annoncé dans la définition.

Pour reconnaître le mécanisme de Sissa dans un exercice, comparez deux étapes consécutives. Si la quantité est multipliée par 2 à chaque étape, utilisez une puissance de 2 ; si elle augmente toujours du même nombre, il s'agit plutôt d'une croissance linéaire.

Pour trouver la quantité sur la case numéro n, calculez 2^{n − 1}. Pour trouver la quantité cumulée jusqu'à cette case, calculez 2ⁿ − 1. Le choix entre ces deux expressions dépend donc d'un critère observable : cherche-t-on une seule case ou toutes les cases ?

Pour contrôler un résultat cumulé, vérifiez qu'il vaut exactement un de moins que le double de la dernière case. Après huit cases, 2 × 128 − 1 = 255. Une addition directe reste préférable si la règle de doublement n'est pas respectée à chaque étape.

Croissance exponentielle et croissance linéaire. Dans le problème de Sissa, le rapport entre deux cases consécutives vaut 2 ; avec une croissance linéaire, leur différence serait constante. Ainsi, 1, 2, 4, 8 suit le doublement, tandis que 1, 2, 3, 4 ajoute toujours 1.

Terme d'une suite et somme de ses termes. La 64e quantité de la suite géométrique vaut 2⁶³, tandis que la somme des 64 quantités vaut 2⁶⁴ − 1. Le cas de huit termes tranche facilement : le dernier vaut 128, leur somme vaut 255.

Décalage d'indice. La première case contient 2⁰ = 1 grain, pas 2¹. Si la huitième case est annoncée à 256 grains, l'exposant a été décalé ; revenez à la première case et utilisez 2^{n − 1}.

Règle interrompue. La formule 2ⁿ − 1 suppose un départ à 1 et un doublement entre chaque paire de cases successives, soit n − 1 doublements pour n cases. Si une case répète, triple ou omet une quantité, le symptôme est un rapport différent de 2 ; additionnez alors les valeurs réellement données.

Nombre de cases différent. Le résultat 2⁶⁴ − 1 appartient à un échiquier de 64 cases. Pour un plateau de n cases, il devient 2ⁿ − 1 ; employer 64 malgré un autre nombre de cases produit une quantité sans rapport avec le plateau étudié.

Récit et calcul. Les dates et l'origine du jeu d'échecs relèvent ici de traditions controversées. Il faut présenter comme légendaire le récit rapporté en 1256 et ne pas déduire du calcul qu'il prouve une attribution historique ; seule la progression numérique est certaine dans le problème.

suite géométrique — Relier le doublement des cases à la formule générale d'une progression obtenue par multiplication constante.