Vardi (constante de)

Prenez le nombre 1, multipliez-le par son exponentielle, puis recommencez avec le résultat. On obtient environ 2,718, puis 41,194, puis un nombre voisin de 3,20 × 10¹⁹. La taille change si vite que les valeurs brutes deviennent peu parlantes.

Cette orbite illustre pourquoi une croissance très rapide peut demander une normalisation, mais elle ne produit pas la constante de Vardi. Pour définir V, on part plutôt de la suite de Sylvester : 2, 3, 7, 43… Après avoir ramené chaque terme à l'échelle adaptée, la limite obtenue vaut environ 1,264084735305301.

On considère la fonction f qui, à un nombre x, associe x multiplié par son exponentielle : $f(x)=x{e}^{x}f(x)=x\; e^x$. Partant d'une valeur initiale x₀, la valeur x_n au rang n s'obtient en appliquant f à plusieurs reprises. La règle de récurrence est $x_{n+1}=f(x_n)=x_n{e}^{x_n}x\_\{n+1\}=f(x\_n)=x\_n\; e^\{x\_n\}$.

Cette orbite n'est pas celle qui définit la constante de Vardi. La définition usuelle part de la suite de Sylvester $s_0=2,s_{n+1}=s_n^2-s_n+1(n\ge 0)s\_0=2,\backslash quad\; s\_\{n+1\}=s\_n^2-s\_n+1\backslash quad(n\backslash geq\; 0)$ et pose $V={\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}{s}_n^{1\mathrm{/}{2}^{n+1}}\approx \mathrm{1,264084735305301}V=\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}s\_n^\{1/2^\{n+1\}\}\backslash approx\; 1\{,\}264084735305301$. Sa normalisation est donc doublement exponentielle : $s_n=V^{2^{n+1}}+\frac{1}{2}+O\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(V^{-2^{n+1}}\right)s\_n=V^\{2^\{n+1\}\}+\backslash frac12+O\backslash !\backslash left(V^\{-2^\{n+1\}\}\backslash right)$, donc $\frac{s_n}{V^{2^{n+1}}}\to 1\backslash frac\{s\_n\}\{V^\{2^\{n+1\}\}\}\backslash to\; 1$. La condition initiale s₀ = 2 et l'exposant 2ⁿ⁺¹ font partie de cette définition.

On suit l'orbite issue de x₀ = 1 pour la fonction f(x) = x exp(x). Les données sont la valeur initiale 1, la constante e ≈ 2,718281828 et la même fonction appliquée à chaque étape.

1. La première itération donne $x_1=1\cdot e^1=e\approx \mathrm{2,718281828}x\_1=1\backslash cdot\; e^1=e\backslash approx\; 2\{,\}718281828$.

2. La deuxième donne $x_2=e\cdot e^e=e^{e+1}\approx \mathrm{41,193555675}x\_2=e\backslash cdot\; e^e=e^\{e+1\}\backslash approx\; 41\{,\}193555675$.

3. La troisième donne $x_3=x_2{e}^{x_2}\approx \mathrm{3,198624061}\times {10}^{19}x\_3=x\_2\; e^\{x\_2\}\backslash approx\; 3\{,\}198624061\backslash times\; 10^\{19\}$. La figure synthétise cette succession et rend visible le saut d'échelle.

Pour contrôler le calcul, on réinjecte chaque résultat dans f et l'on vérifie l'identité $\ln (x_{n+1})=\ln (x_n)+x_n\backslash ln(x\_\{n+1\})=\backslash ln(x\_n)+x\_n$, valable ici puisque les termes sont positifs. Le passage d'environ 41,194 à environ 3,20 × 10¹⁹ montre pourquoi un développement asymptotique doit neutraliser la croissance avant qu'un rapport puisse tendre vers une constante finie. Ce contrôle porte uniquement sur l'orbite de x exp(x) : la constante de Vardi se lit dans la suite de Sylvester 2, 3, 7, 43… et dans la limite normalisée donnée dans la définition.

Dans une étude asymptotique, on calcule ou estime quelques itérations, puis on les compare au développement dominant. Si le rapport normalisé se stabilise, la constante mesure le facteur que l'approximation principale ne capture pas.

Dans une exploration numérique, les valeurs brutes débordent très vite la capacité de calcul. Lorsque x_n > 0, on travaille alors avec leurs logarithmes : l'identité ln(x_n exp(x_n)) = ln(x_n) + x_n transforme la multiplication en addition. Cette représentation est préférable dès que l'itérée positive ne peut plus être stockée directement ; elle ne s'applique pas dans les réels à un terme nul ou négatif.

Pour comparer deux approximations asymptotiques, on ne retient pas seulement celle qui semble proche sur un rang. On observe la suite des rapports normalisés : une stabilisation persistante est le critère pertinent, tandis qu'un écart croissant signale une normalisation inadéquate.

Constante limite et point fixe. Un point fixe est un nombre x tel que f(x) = x. La constante de Vardi provient au contraire d'un rapport asymptotique entre une itérée et sa normalisation. Avec x₀ = 1, f(1) = e : l'orbite change dès le premier pas.

Exponentielle et fonction x exp(x). L'exponentielle envoie x sur exp(x), tandis que la fonction itérée ici envoie x sur x exp(x). Pour x = 2, les valeurs sont respectivement exp(2) et 2 exp(2) : elles diffèrent d'un facteur 2.

Itération et exponentiation répétée. Itérer f signifie reprendre toute la sortie comme nouvelle entrée de f. Le deuxième terme issu de 1 vaut e exp(e), et non une simple puissance obtenue en gardant la même base et le même exposant.

Valeurs brutes. Pour x₀ = 1, les itérées 1, environ 2,718, 41,194 puis 3,20 × 10¹⁹ ne se stabilisent pas. Leur limite brute n'est donc pas la constante de Vardi ; il faut former le rapport normalisé prescrit.

Normalisation incomplète. Dire seulement que l'on divise par une approximation ne suffit pas. Un terme asymptotique omis peut modifier ou détruire la limite. Il faut conserver le développement précis, son ordre et les hypothèses portant sur la valeur initiale.

Cas initial nul. Si x₀ = 0, alors f(0) = 0 et toutes les itérées restent nulles. Le scénario de croissance observé depuis 1 disparaît ; on ne peut pas lui appliquer sans vérification la même description asymptotique.

Arrondis précoces. Les signes ≈ de l'exemple sont essentiels. Comme une petite erreur est réinjectée dans une exponentielle, arrondir trop tôt peut produire un écart immense au rang suivant. On garde donc une expression exacte ou suffisamment de chiffres jusqu'au dernier calcul.

La fiche fonction exponentielle permet d'approfondir la fonction exp, son rythme de croissance et les identités utilisées dans le calcul des itérées.

La fiche algorithme de Fibonacci-Sylvester présente la suite de Sylvester et sa croissance doublement exponentielle, autre contexte signalé autour de la constante de Vardi.

Au-delà du calcul, l'enjeu est de choisir une échelle adaptée à l'objet. Une normalisation asymptotique ne ralentit pas l'itération elle-même : elle construit une quantité comparable d'un rang au suivant, dont une limite peut alors devenir visible.