QED

Imaginez la dernière ligne d'une démonstration : la conclusion annoncée vient d'être obtenue et il ne reste plus rien à prouver. L'auteur peut alors écrire QED. Ces trois lettres ferment le raisonnement comme un point final réservé aux preuves.

Elles abrègent la locution latine Quod Erat Demonstrandum, « ce qu'il fallait démontrer ». Un petit carré noir ou vide peut jouer le même rôle. Le lecteur sait ainsi exactement où s'achève la démonstration.

QED est l'abréviation de l'expression latine Quod Erat Demonstrandum, traduite par « ce qu'il fallait démontrer ». Elle se place traditionnellement après la conclusion d'une démonstration mathématique. Sa fonction est typographique et logique : elle signale que le raisonnement annoncé est arrivé à son terme.

Le marqueur ne constitue pas une étape de la preuve et ne rend pas, à lui seul, un raisonnement correct. Il indique seulement que l'auteur considère la démonstration comme complète. Cette place finale est le trait décisif pour le reconnaître.

Dans les textes mathématiques modernes, QED est souvent remplacé par un petit carré noir ou vide, aussi appelé tombeau. L'introduction de ce symbole est attribuée à Paul Halmos. Les deux formes remplissent la même fonction de clôture formelle.

Prenons l'énoncé suivant : « La somme de deux entiers pairs est paire. » La preuve courte qui suit permet de repérer la conclusion, puis la place exacte de son marqueur de fin.

1. Données. Deux entiers pairs s'écrivent chacun comme le double d'un entier.

2. Raisonnement. Leur somme est donc le double de la somme de ces deux entiers. Comme cette dernière somme est encore un entier, le nombre obtenu est pair.

3. Conclusion et marqueur. La somme de deux entiers pairs est donc paire. QED

Le contrôle peut être refait ligne par ligne : l'énoncé est repris par la conclusion, et QED vient seulement après celle-ci. Placé avant la phrase de conclusion, le marqueur aurait interrompu la preuve trop tôt.

À la lecture d'une preuve, QED sert de repère visuel. Dès que ces lettres apparaissent, le lecteur sait que la démonstration est close et que le texte suivant n'appartient plus à ses étapes.

À la rédaction, l'auteur place QED après la conclusion établie. Il peut préférer le petit carré noir ou vide lorsque la convention typographique du texte l'emploie déjà ; le critère est la cohérence du document.

Dans un texte français, CQFD offre une autre formulation explicite. QED conserve la locution latine, tandis que le carré fournit un signe purement graphique.

QED et CQFD. Les deux marquent la fin d'une démonstration, mais ils ne développent pas les mêmes mots. QED abrège la locution latine Quod Erat Demonstrandum ; CQFD correspond à la formulation française « ce qu'il fallait démontrer ». Une fin de preuve portant les quatre lettres CQFD relève donc de l'abréviation française.

Marqueur et démonstration. QED signale la clôture d'une preuve, mais n'est pas la preuve elle-même. Un raisonnement incomplet suivi de QED demeure incomplet : il faut examiner les étapes précédentes pour juger sa validité.

Présence sans garantie. Le symptôme est une preuve qui se termine bien par QED, mais dont une étape reste injustifiée. Il faut contrôler le raisonnement lui-même : le marqueur exprime une clôture, pas une certification automatique.

Absence sans inachèvement. Une démonstration peut se terminer sans les lettres QED si un carré noir ou vide sert de tombeau. Il faut alors reconnaître ce symbole comme le repère final prévu par la convention typographique.

Clôture prématurée. Si une justification nécessaire apparaît après QED, le signe a été placé trop tôt. La correction consiste à déplacer le marqueur après la dernière étape qui établit réellement la conclusion.

CQFD — La fiche présente la formulation française et permet de comparer précisément les deux abréviations de fin de démonstration.