Logique et ensemblesNotion · Glossaire
CQFD
CQFD est l'abréviation de 'Ce Qu'il Fallait Démontrer', expression utilisée à la fin d'une démonstration pour indiquer que la preuve est complète. Cette formule est la traduction française du latin 'Quod Erat Demonstrandum', dont l'abréviation moderne est QED. Les démonstrations grecques, notamment celles d'Euclide, comportaient déjà une conclusion explicite, mais les marques QED et CQFD sont apparues ultérieurement. Elles signalent que le raisonnement a bien abouti à la conclusion que l'on souhaitait prouver. Dans les textes modernes, on utilise parfois un carré ou un rectangle rempli (le tombeau de Halmos) à la place de CQFD.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Développer l'abréviation CQFD et la relier à QED.
- Savoir à quel moment placer CQFD dans une démonstration.
- Distinguer la marque finale des arguments qui constituent réellement la preuve.
- Reconnaître le carré de Halmos comme convention de clôture équivalente.
En clair
Imaginez une démonstration comme un trajet : elle part d'hypothèses, enchaîne des arguments, puis atteint la conclusion annoncée. Écrire CQFD à cet instant revient à poser un point final qui signifie « le but est atteint ».
Ces quatre lettres développent « Ce Qu'il Fallait Démontrer ». Elles ne constituent pas un argument supplémentaire : elles signalent seulement que tous les arguments nécessaires viennent d'être donnés.
Définition
CQFD est une marque placée à la fin d'une démonstration. Elle indique que la conclusion annoncée a été obtenue à partir des hypothèses et des étapes du raisonnement. Elle ne démontre rien par elle-même : la preuve doit être complète avant que la marque soit écrite.
La formule française abrège « Ce Qu'il Fallait Démontrer ». Elle traduit l'expression latine Quod Erat Demonstrandum, abrégée QED. Les démonstrations grecques, notamment celles d'Euclide, comportaient déjà une conclusion explicite ; les abréviations QED et CQFD sont des formes ultérieures de cette pratique. CQFD et QED remplissent donc la même fonction dans deux langues différentes.
Dans des textes modernes, un carré ou un rectangle plein peut occuper la même place. Ce signe, souvent nommé tombeau de Halmos, marque lui aussi la fin de la preuve. Le choix entre CQFD, QED et ce symbole relève de la convention typographique ; il ne change ni les arguments ni la conclusion.
Un exemple, pas à pas
Montrons que la somme de deux entiers pairs est paire. Données : les nombres a et b sont des entiers pairs ; il existe donc des entiers n et m tels que a = 2n et b = 2m. Pour le contrôle numérique final, on prendra a = 6 et b = 10.
1. Remplacer a et b par leurs écritures comme multiples de 2 : .
2. Mettre 2 en facteur : .
3. Constater que n + m est un entier. La somme a + b est donc un multiple de 2, donc un entier pair. C'est exactement la conclusion annoncée : on peut écrire CQFD.
Le contrôle avec 6 et 10 donne 6 + 10 = 16, qui est bien pair. Il illustre le résultat ; la preuve générale repose sur la factorisation par 2. La chaîne complète mène des hypothèses à la conclusion avant la marque finale.
En pratique
Dans une copie ou un texte mathématique, CQFD se place après la dernière phrase qui établit la conclusion. Si la démonstration est très courte et sa fin évidente, un simple point peut suffire ; CQFD rend la clôture plus visible.
Dans une publication qui suit les conventions internationales, QED peut remplacer CQFD. Le critère observable est la langue ou le choix typographique du document : les deux marques annoncent le même achèvement.
Dans une mise en page moderne, un carré plein peut éviter d'ajouter une abréviation à la dernière ligne. Ce signe convient lorsqu'il est déjà adopté dans le document ; sinon, CQFD reste immédiatement lisible en français.
À ne pas confondre
CQFD et « donc ». Le mot « donc » relie une étape à sa conséquence, parfois au milieu d'un raisonnement. CQFD n'apparaît qu'après l'obtention de la conclusion finale : dans l'exemple, « donc » introduit la parité de la somme, puis CQFD clôt la preuve.
Ce qu'il fallait démontrer et ce qu'il reste à démontrer. La première formule constate que le but est atteint ; la seconde annonce un but encore ouvert. Si une étape nécessaire manque, seule la seconde situation décrit honnêtement le raisonnement.
Limites et pièges
Une marque ne répare pas une preuve. Si une conclusion ne découle pas des étapes précédentes, ajouter CQFD ne comble pas le manque. Il faut retrouver l'implication absente ou corriger l'argument avant de clore le texte.
La vérification d'un exemple ne suffit pas toujours. Le calcul 6 + 10 = 16 confirme un cas, mais il ne prouve pas à lui seul le résultat pour tous les entiers pairs. La factorisation par 2 apporte cette généralité ; CQFD vient seulement ensuite.
Le carré final n'ajoute pas une seconde conclusion. Lorsqu'un texte emploie le tombeau de Halmos, écrire aussi CQFD est généralement redondant. Il faut suivre une seule convention de clôture de manière cohérente.
Pour aller plus loin
Dans l'œil d'Euclide replace Euclide dans un autre contexte mathématique et prolonge la référence historique associée à QED.
Conjecture abc : la preuve que personne ne comprend sera vérifiée par ordinateur montre pourquoi déclarer une preuve achevée n'épuise pas la question de sa vérification.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres