Réciprocité (théorèmes de)

Prenons deux nombres premiers, 3 et 7. On peut demander si 3 est le reste d’un carré après division par 7, puis retourner la question : 7 est-il le reste d’un carré après division par 3 ? Une loi de réciprocité relie ces deux questions. Elle évite de recommencer tous les calculs et révèle une symétrie, parfois corrigée par un signe. Cette idée élémentaire devient, en théorie algébrique des nombres, une relation entre des nombres premiers, des extensions de corps et leurs symétries.

Un théorème de réciprocité transforme une question arithmétique portant sur un objet par rapport à un autre en une question où leurs rôles sont échangés. Il ne s’agit donc pas d’un théorème unique, mais d’une famille de résultats dont les objets, les hypothèses et le facteur correctif dépendent du cadre.

Le modèle classique est la loi de réciprocité quadratique. Pour deux nombres premiers impairs distincts, notés p et q, le symbole de Legendre $\left(\frac{p}{q}\right)\backslash left(\backslash frac\{p\}\{q\}\backslash right)$ vaut 1 si p est un carré non nul modulo q, et −1 sinon. La loi échange p et q selon l’identité $\left(\frac{p}{q}\right)\left(\frac{q}{p}\right)=(-1{)}^{\frac{(p-1)(q-1)}{4}}\backslash left(\backslash frac\{p\}\{q\}\backslash right)\backslash left(\backslash frac\{q\}\{p\}\backslash right)=(-1)^\{\backslash frac\{(p-1)(q-1)\}\{4\}\}$. Les deux symboles sont égaux si au moins l’un des nombres premiers vaut 1 modulo 4 ; ils sont opposés si tous deux valent 3 modulo 4.

En théorie algébrique des nombres, la réciprocité d’Artin étend ce principe : dans le cadre abélien de la théorie du corps de classes, elle relie des idéaux premiers non ramifiés d’un corps de nombres à des automorphismes de Galois. La réciprocité de Weil relève d’un autre cadre et exprime elle aussi une symétrie globale. Le mot « réciprocité » décrit ainsi un schéma commun, non une formule que l’on pourrait appliquer sans préciser son domaine.

On compare 3 et 7, deux nombres premiers impairs distincts. Les données sont : p = 3 ; q = 7 ; 3 et 7 valent tous deux 3 modulo 4.

1. Calculons les carrés non nuls modulo 7. Les restes de 1², 2², 3², 4², 5² et 6² sont 1, 4, 2, 2, 4 et 1. Le reste 3 n’apparaît pas, donc $\left(\frac{3}{7}\right)=-1\backslash left(\backslash frac\{3\}\{7\}\backslash right)=-1$.

2. Retournons la question. Comme 7 laisse le reste 1 modulo 3, et que 1 est le carré de 1 modulo 3, on obtient $\left(\frac{7}{3}\right)=1\backslash left(\backslash frac\{7\}\{3\}\backslash right)=1$.

3. La loi prévoit des signes opposés, car 3 et 7 valent tous deux 3 modulo 4. Le contrôle donne bien (−1) × 1 = −1. Les listes de carrés modulo 7 et modulo 3 rendent visible cette asymétrie réglée.

Pour décider si une congruence quadratique admet une solution modulo un grand nombre premier, on peut échanger les deux nombres grâce à la réciprocité quadratique. Si le module est petit, l’énumération directe des carrés reste souvent plus courte ; le nombre de restes à tester fournit le critère.

Dans une extension abélienne de corps de nombres, la réciprocité d’Artin organise l’étude des idéaux premiers non ramifiés par les automorphismes auxquels ils correspondent. Pour un petit polynôme explicite, une factorisation directe peut suffire ; la loi d’Artin devient pertinente lorsque l’on cherche une organisation globale des premiers.

Le premier geste consiste donc à identifier le cadre : résidus quadratiques, extension abélienne ou autre loi de réciprocité. Le type d’objets et les hypothèses indiquent quelle formulation employer.

Réciprocité et réciproque d’un nombre. La réciproque de 7 est 1/7, tandis qu’une loi de réciprocité échange les rôles de deux objets dans une relation. Le calcul avec 3 et 7 ne cherche jamais l’inverse 1/7.

Réciprocité et simple égalité. L’échange ne conserve pas toujours la même valeur. Pour 3 et 7, les deux symboles de Legendre valent respectivement −1 et 1 : le facteur de signe fait partie du théorème.

Réciprocité quadratique et réciprocité d’Artin. La première répond à une question sur les carrés modulo des nombres premiers impairs. La seconde relie des idéaux premiers non ramifiés à des symétries de Galois dans un cadre abélien ; les objets testés permettent de trancher.

Les nombres premiers doivent être distincts et impairs. La formule quadratique donnée plus haut ne s’applique pas telle quelle si p = q ou si l’un vaut 2. Dans ces cas, il faut employer la définition du symbole et les lois complémentaires adaptées à 2.

Un dénominateur composé change l’outil. Le symbole de Jacobi étend la notation de Legendre, mais sa valeur 1 ne garantit pas qu’un nombre soit un carré modulo le dénominateur. Il faut factoriser le module ou étudier séparément ses facteurs premiers.

Les premiers ramifiés demandent un traitement séparé. Dans la formulation usuelle de la réciprocité d’Artin, la correspondance attachée à un idéal premier se lit hors des premiers ramifiés. Si un premier est ramifié, il faut consulter la formulation tenant compte du module ou du conducteur.

Le nom ne suffit pas à identifier une formule. La réciprocité quadratique, la réciprocité d’Artin et celle de Weil vivent dans des cadres différents. Avant tout calcul, il faut préciser les objets échangés et les hypothèses de la loi choisie.

La fiche Réciprocité quadratique approfondit la loi qui sert ici d’exemple conducteur et détaille l’échange entre deux nombres premiers impairs.

La fiche symbole de Legendre précise la notation qui code l’existence d’un carré non nul modulo un nombre premier.

L’article Adrien-Marie Legendre, à la recherche de solutions entières replace le symbole et les problèmes de solutions entières dans un parcours historique.