Probabilités et statistiquesNotion · Glossaire
Réciprocité quadratique
La loi de réciprocité quadratique répond à une question simple : quand on échange deux nombres premiers impairs distincts p et q, la propriété « p est un carré modulo q » devient-elle « q est un carré modulo p » ? Oui si l'un des deux laisse le reste 1 modulo 4 ; si tous deux laissent le reste 3, la réponse s'inverse. La formule et le symbole qui condensent cette règle sont détaillés ci-après.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Interpréter le symbole de Legendre comme un verdict sur l'existence d'un carré modulo un nombre premier.
- Appliquer la règle de signe selon les restes des deux premiers modulo 4.
- Vérifier sur 5 et 11 les deux côtés de la réciprocité avec des carrés témoins.
- Reconnaître le changement de signe lorsque les deux premiers valent 3 modulo 4.
- Écarter les cas où les premiers ne sont pas impairs et distincts ou le dénominateur est composé.
En clair
Prenons les nombres premiers 5 et 11. En élevant 4 au carré, on obtient 16, qui laisse le reste 5 dans une division par 11. Le nombre 5 est donc un carré modulo 11. Dans l'autre sens, 11 laisse le reste 1 modulo 5, et 1 est lui-même un carré.
La réciprocité quadratique relie précisément ces deux questions inversées. Elle évite de recommencer une recherche de carrés : selon les restes de 5 et de 11 modulo 4, la réponse est conservée ou renversée.
Définition
Soient p et q deux nombres premiers impairs distincts. Le symbole de Legendre vaut +1 lorsque p est congru à un carré non nul modulo q, et −1 sinon. Comme p et q sont distincts, le cas où le symbole vaut 0 est exclu. La loi de réciprocité quadratique compare ce symbole à celui obtenu en échangeant p et q.
La relation complète est : . Si p ou q laisse le reste 1 modulo 4, l'exposant est pair et les deux symboles sont égaux. Si p et q laissent tous deux le reste 3 modulo 4, l'exposant est impair et leurs signes sont opposés.
Le théorème transforme ainsi la question « p est-il un carré modulo q ? » en la question réciproque, parfois plus courte à traiter. Démontré par Gauss, qui l'appelait le théorème fondamental, il a reçu de sa part plusieurs démonstrations.
Un exemple, pas à pas
Décidons si 5 est un carré modulo 11, puis vérifions la question réciproque. Les données sont les nombres premiers impairs distincts p = 5 et q = 11, avec 5 ≡ 1 modulo 4 et 11 ≡ 3 modulo 4.
1. Cherchons un carré égal à 5 modulo 11. Comme 42 = 16 et 16 laisse le reste 5 dans la division par 11, le symbole vaut +1.
2. L'un des deux premiers, ici 5, laisse le reste 1 modulo 4. La loi annonce donc que les deux symboles de Legendre ont le même signe : . La figure rassemble la condition et les deux témoins carrés.
3. Contrôlons directement l'autre sens. Le nombre 11 laisse le reste 1 modulo 5, et 12 laisse aussi le reste 1. Ainsi, .
4. Les deux calculs donnent +1, donc leur produit vaut +1. Cela concorde avec .
En pratique
Pour savoir si un nombre premier impair p est un carré modulo un autre premier impair q, commencez par regarder leurs restes modulo 4. Si l'un vaut 1, vous pouvez échanger p et q sans changer la réponse ; si les deux valent 3, vous devez changer le signe.
Après l'échange, réduisez le numérateur modulo le dénominateur. Dans l'exemple, remplacer 11 par son reste 1 modulo 5 rend le contrôle immédiat. Si l'échange ne réduit pas le calcul, la recherche directe des carrés modulo le plus petit premier reste une alternative vérifiable.
Le symbole de Legendre encode le verdict par +1 ou −1. Cette écriture compacte permet d'enchaîner les échanges et les réductions sans dresser chaque fois la liste complète des carrés.
À ne pas confondre
Réciprocité quadratique et symbole de Legendre. Le symbole donne une réponse pour un couple ordonné : . La loi de réciprocité compare les deux ordres du même couple et indique si l'échange conserve ou inverse ce signe.
Symbole de Legendre et symbole de Jacobi. Dans la loi énoncée ici, le dénominateur de chaque symbole de Legendre est premier. Le symbole de Jacobi accepte un dénominateur impair composé ; sa valeur +1 ne suffit alors pas, à elle seule, à garantir que le numérateur est un carré modulo ce dénominateur.
Résidu quadratique et reste d'une division. Dire que 5 est un résidu quadratique modulo 11 signifie qu'un carré, ici 42, laisse le reste 5. Le nombre 5 n'est pas seulement le reste de sa propre division par 11 : l'existence d'un carré témoin est le critère décisif.
Limites et pièges
Deux premiers congrus à 3 modulo 4. L'échange renverse alors le signe. Pour p = 3 et q = 7, les carrés non nuls modulo 7 ont pour restes 1, 2 ou 4 : 3 n'en fait pas partie. En revanche, 7 laisse le reste 1 modulo 3, qui est un carré. Les symboles valent donc −1 et +1.
Premiers non distincts. Si p = q, le symbole de Legendre correspondant vaut 0, car le numérateur est divisible par le dénominateur. La formule donnée pour deux premiers distincts ne s'applique pas ; il faut revenir à la définition du symbole.
Présence du nombre 2. La loi formulée ici exige deux nombres premiers impairs. Si l'un d'eux vaut 2, les classes 1 et 3 modulo 4 ne fournissent plus le critère annoncé ; il faut traiter séparément la question des carrés modulo le premier impair.
Dénominateur composé. Remplacer sans précaution un symbole de Legendre par un symbole de Jacobi peut produire un faux verdict sur l'existence d'un carré. Il faut d'abord identifier la nature du dénominateur, puis employer le symbole adapté.
Pour aller plus loin
symbole de Legendre — Approfondir l'encodage par 0, +1 ou −1 de l'existence d'un carré modulo un nombre premier impair.
symbole de Jacobi — Étendre le calcul à un dénominateur impair composé et cerner ce que le signe obtenu permet réellement de conclure.
critère d'Euler — Relier le symbole de Legendre à un calcul de puissance modulo un nombre premier impair.
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