ArithmétiqueNotion · Glossaire
Legendre Adrien-Marie
Adrien-Marie Legendre est un mathématicien français dont les travaux ont structuré la géométrie, l'analyse et la théorie des nombres. Sa loi de réciprocité quadratique relie, pour deux nombres premiers impairs distincts, la possibilité que chacun soit un carré modulo l'autre : les deux réponses coïncident, sauf lorsque les deux nombres sont congrus à 3 modulo 4, où elles sont opposées ; elle simplifie ainsi l'étude des congruences quadratiques.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Situer les principales publications de Legendre dans leur chronologie.
- Relier ses travaux en géométrie, analyse et théorie des nombres.
- Vérifier la réciprocité quadratique sur les nombres premiers 3 et 7.
- Distinguer le mathématicien, son symbole et la loi de réciprocité.
En clair
À Paris, en 1775, Adrien-Marie Legendre devient professeur à l'École Militaire sur la recommandation de D'Alembert. Son parcours relie ensuite des problèmes très différents : enseigner la géométrie avec rigueur, calculer des intégrales et étudier les nombres entiers.
Son nom reste notamment attaché à un symbole qui indique si un nombre peut être le carré d'un autre, une fois les restes pris modulo un nombre premier. Ce petit test permet d'énoncer la réciprocité quadratique, l'un de ses résultats majeurs en théorie des nombres.
Définition
Adrien-Marie Legendre (1752–1833) est un mathématicien français né et mort à Paris. Professeur à l'École Militaire de Paris à partir de 1775, il travaille en géométrie, en équations différentielles, en calcul numérique, en théorie des fonctions et en théorie des nombres. Ses Éléments de géométrie, publiés en 1794, refondent rigoureusement la géométrie euclidienne et renouvellent son enseignement. L'ouvrage connaît vingt éditions de son vivant.
Ses Exercices de calcul intégral, parus de 1811 à 1819, puis son Traité des fonctions elliptiques, publié de 1825 à 1832, introduisent de nouveaux outils analytiques. L'irrationalité de π avait été démontrée auparavant par Johann Heinrich Lambert : ce résultat signifie que π ne peut pas s'écrire comme le quotient de deux nombres entiers.
Dans sa Théorie des nombres de 1798, Legendre énonce la loi de réciprocité quadratique. Pour deux nombres premiers impairs distincts, nommés p et q, le symbole de Legendre vaut 1 si p est un carré modulo q, et −1 sinon. La loi relie les deux tests effectués dans l'ordre opposé :
Le produit vaut −1 lorsque p et q sont tous deux congrus à 3 modulo 4 ; dans les autres cas, il vaut 1.
Un exemple, pas à pas
Prenons les nombres premiers impairs distincts p = 3 et q = 7. Ils sont tous deux congrus à 3 modulo 4. Nous voulons comparer les symboles de Legendre et .
1. Élevons les restes 1 à 6 au carré modulo 7. Les carrés non nuls obtenus sont 1, 2 et 4. Comme 3 n'apparaît pas, .
2. Réduisons 7 modulo 3 : le reste vaut 1. Or 1 est le carré de 1 modulo 3, donc .
3. Multiplions les deux résultats : le produit vaut −1. Le diagramme des carrés modulo 7 rend visible l'absence du reste 3 parmi les résidus quadratiques.
Le contrôle par la loi donne le même signe : l'exposant vaut (3 − 1)(7 − 1) / 4 = 3, donc (−1)3 = −1. Les deux calculs concordent exactement.
En pratique
Pour suivre l'évolution de l'enseignement géométrique, les Éléments de géométrie de 1794 constituent le repère pertinent : leur objet est la refonte de la géométrie euclidienne. Si la question porte sur les entiers, la Théorie des nombres de 1798 est le texte à privilégier.
Pour situer ses outils d'analyse, il faut distinguer le calcul intégral des fonctions elliptiques. Les Exercices de calcul intégral de 1811–1819 conviennent au premier sujet ; le traité publié de 1825 à 1832 convient au second.
Face à un symbole portant le nom de Legendre, le geste utile consiste à identifier son domaine. Le symbole employé dans la réciprocité quadratique teste des carrés modulo un nombre premier ; il ne résume pas toute l'œuvre du mathématicien.
À ne pas confondre
Le symbole de Legendre et la loi de réciprocité quadratique. Le symbole donne le résultat d'un seul test de carré modulo un nombre premier. La loi compare deux symboles dont les nombres premiers ont été intervertis. Pour 3 et 7, chaque symbole vaut respectivement −1 et 1, tandis que la loi porte sur leur produit, égal à −1.
Le mathématicien et les objets qui portent son nom. Adrien-Marie Legendre désigne une personne et une œuvre couvrant plusieurs domaines. Le symbole de Legendre désigne une notation précise de théorie des nombres. Une date biographique comme 1775 concerne la personne ; une valeur comme concerne l'objet mathématique.
Limites et pièges
Le cas « 3 modulo 4 » n'est pas une exception à l'identité. Lorsque les deux nombres premiers sont congrus à 3 modulo 4, l'exposant est impair et le membre de droite vaut −1. Il faut donc changer le signe lors de l'interversion, et non abandonner la formule.
Les deux nombres premiers doivent être distincts. Si l'on prend p = q, chacun des deux symboles vaut 0 et leur produit vaut 0, alors que le membre de droite vaut −1 si p est congru à 3 modulo 4 et 1 s'il est congru à 1 modulo 4. La formule est donc hors hypothèses et échoue dans ce cas.
Le symbole ne vaut pas toujours seulement 1 ou −1. Il vaut aussi 0 lorsque son numérateur est divisible par le nombre premier placé au dénominateur. Avant tout calcul, il faut vérifier cette divisibilité ; la version à deux signes suppose qu'elle est exclue.
Une date doit rester attachée au bon résultat. L'année 1794 concerne les Éléments de géométrie, 1798 la Théorie des nombres, 1811–1819 les Exercices de calcul intégral et 1825–1832 le Traité des fonctions elliptiques. Les réunir sous une seule date fausserait la chronologie.
Pour aller plus loin
Le glossaire symbole de Legendre détaille le test de résidu quadratique utilisé dans l'exemple.
La fiche Réciprocité quadratique isole la loi qui relie les deux symboles lorsque les nombres premiers sont intervertis.
L'article Adrien-Marie Legendre, à la recherche de solutions entières prolonge le versant arithmétique de son œuvre.
L'article Quand Legendre croit démontrer le cinquième postulat éclaire un épisode précis de ses recherches géométriques.
La fiche fonction elliptique présente la notion étudiée dans son traité publié entre 1825 et 1832.
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