symbole de Jacobi

Prenons le nombre impair composé 15, formé des nombres premiers 3 et 5. Pour savoir ce que vaut le symbole de Jacobi de 2 sur 15, on examine 2 séparément modulo 3 et modulo 5, puis on multiplie les deux réponses.

Le résultat tient en trois valeurs : −1, 0 ou 1. Il condense donc plusieurs tests portant sur les facteurs premiers du dénominateur. Mais la valeur 1 est seulement un indice global : elle n’affirme pas que 2 est le carré d’un entier modulo 15.

Le symbole de Jacobi s’applique à un entier a et à un entier positif impair n. Écrivons la décomposition de n en nombres premiers distincts p₁, …, p_m, avec des exposants positifs α₁, …, α_m. Sa définition est :

Chaque facteur à droite est le symbole de Legendre de a pour le nombre premier p_i. Il vaut 0 si p_i divise a, 1 si a est un carré non nul modulo p_i, et −1 sinon. Le produit vaut donc 0 exactement lorsque a et n ont un facteur premier commun. Si n est premier, le symbole de Jacobi coïncide avec le symbole de Legendre. Si n est composé, une valeur −1 exclut que a soit un carré modulo n, tandis qu’une valeur 1 ne suffit pas à l’assurer.

Calculons le symbole de Jacobi de 2 sur 15. Les données sont l’entier étudié a = 2, le dénominateur n = 15 et la factorisation 15 = 3 × 5.

1. Modulo 3, les carrés non nuls valent 1. Le nombre 2 n’en est pas un, donc le symbole de Legendre de 2 sur 3 vaut −1.

2. Modulo 5, les carrés non nuls valent 1 ou 4. Le nombre 2 n’en est pas un, donc le symbole de Legendre de 2 sur 5 vaut aussi −1.

3. La définition donne $\left(\frac{2}{15}\right)=\left(\frac{2}{3}\right)\left(\frac{2}{5}\right)=(-1)\times (-1)=1\backslash left(\backslash frac\{2\}\{15\}\backslash right)=\backslash left(\backslash frac\{2\}\{3\}\backslash right)\backslash left(\backslash frac\{2\}\{5\}\backslash right)=(-1)\backslash times(-1)=1$.

Le résultat exact est donc 1. Pourtant, les carrés des entiers de 0 à 14 donnent seulement 0, 1, 4, 6, 9 ou 10 modulo 15 : aucun ne vaut 2.

Ce contrôle refaisable montre que 2 n’est pas un résidu quadratique modulo 15, malgré la valeur 1 du symbole de Jacobi.

Pour effectuer un calcul, on peut partir de la factorisation du dénominateur et multiplier les symboles de Legendre correspondants. Avec 15 = 3 × 5, cette voie donne directement le produit utilisé dans l’exemple.

Lorsque la factorisation est peu commode, les règles de multiplicativité et de réciprocité permettent de transformer le calcul en symboles plus petits. On choisit cette voie lorsque les restes successifs évitent de rechercher les facteurs premiers de n.

Pour décider si une congruence x² ≡ a modulo n peut avoir une solution, la valeur −1 fournit une obstruction immédiate. Si le symbole vaut 1, il faut poursuivre avec un test adapté aux facteurs de n ou résoudre les congruences correspondantes : le symbole seul ne conclut pas.

Symbole de Legendre. Son dénominateur est un nombre premier impair, alors que celui du symbole de Jacobi peut être composé. Pour 2 sur 15, seul le symbole de Jacobi est défini sous ce nom ; les symboles de Legendre interviennent avec les dénominateurs premiers 3 et 5.

Résidu quadratique modulo n. Cette propriété signifie qu’il existe un entier x tel que x² ≡ a modulo n. Le symbole de Jacobi est un nombre calculé à partir des facteurs premiers de n. Le cas a = 2 et n = 15 tranche : le symbole vaut 1, mais la congruence n’a aucune solution.

La valeur 1 ne suffit pas. Pour un dénominateur composé, elle peut résulter de deux facteurs de Legendre égaux à −1. Le calcul pour 2 sur 15 en est le cas charnière : le produit vaut 1 sans qu’aucun carré soit congru à 2 modulo 15. Il faut donc vérifier séparément l’existence d’une racine carrée.

La valeur 0 signale un facteur commun. Si un nombre premier divisant n divise aussi a, l’un des facteurs de Legendre vaut 0 et tout le produit s’annule. Il faut alors traiter d’abord le plus grand commun diviseur de a et n, au lieu de lire 0 comme une réponse sur les carrés non nuls.

Le dénominateur doit être positif et impair. La définition donnée ne s’emploie pas directement avec un dénominateur pair, nul ou négatif. Il faut alors annoncer une convention étendue au lieu d’appliquer silencieusement cette définition hors de son domaine.

Le symbole de Legendre détaille le test élémentaire effectué pour chaque facteur premier du dénominateur.

La Réciprocité quadratique éclaire les transformations qui rendent de nombreux calculs de symboles plus rapides.

L’article Adrien-Marie Legendre, à la recherche de solutions entières replace ces questions d’arithmétique dans leur développement historique.