suite d'Aronson

Imaginez une phrase dans laquelle certaines lettres sont mises en évidence. La suite d'Aronson donne les rangs de ces lettres : son premier terme indique où apparaît la première lettre marquée, le suivant où apparaît la deuxième, et ainsi de suite.

Le détail surprenant est que la phrase décrit elle-même les positions qu'elle contient. La version française étudiée reprend les positions vérifiées dans l'exemple. Si l'on change de langue ou de convention, la phrase et les positions changent aussi.

Une suite d'Aronson est une suite d'entiers dont les termes codent les positions successives d'une lettre particulière dans la phrase qui définit la suite. Pour la version française donnée ici, la lettre choisie est M et la phrase de référence complète est « M est la preMière, la dixièMe, la vingt-deuxièMe, la trente-septièMe, la cinquante-troisièMe, la lettre de rang soixante-treize dans cette phrase ». On compte uniquement les lettres, y compris les lettres accentuées, en ignorant les espaces, la ponctuation et les traits d'union, sans distinguer majuscules et minuscules. Le premier terme vaut 1 parce que la première lettre M de l'énoncé est au premier rang ; les suivants indiquent les autres rangs de M.

La suite dépend donc de plusieurs conventions qui font partie de sa définition : la langue de l'énoncé, la lettre repérée et la manière de compter les caractères. Avec cette convention, la version française commence par 1, 10, 22, 37, 53, 73. Pour comparaison, la phrase anglaise « T is The firsT, fourTh, elevenTh, sixTeenTh, Twenty-fourTh, Twenty-ninTh, Thirty-ThirTh, Thirty-fifTh, Thirty-nineTh leTTer of This senTence » donne, en comptant ses seules lettres et sans distinguer les majuscules et les minuscules, ses dix premières occurrences de T aux rangs 1, 4, 11, 16, 24, 29, 33, 35, 39 et 45. Il ne s'agit pas d'une règle numérique indépendante de la phrase : modifier l'énoncé peut modifier les positions et donc la suite.

La construction repose sur cinq éléments liés. La phrase de référence fournit le support à parcourir. La lettre repérée, M dans la version française, fournit le motif que l'on cherche. Les mots ordinaux — « première », « dixième » ou « vingt-deuxième », par exemple — énoncent les rangs attendus. Le comptage des caractères attribue un entier à chaque position. Enfin, la suite rassemble dans l'ordre les positions où la lettre choisie apparaît.

Ces éléments se déterminent mutuellement : les positions des M imposent les termes, tandis que les termes écrits dans la phrase annoncent précisément ces positions. La langue n'est pas un simple habillage, car elle change les mots, leur longueur et les rangs obtenus. Une phrase et une convention de comptage données suffisent à reconstruire les premiers termes ; il faut ensuite vérifier que les lettres repérées et les positions annoncées concordent.

On reprend l'énoncé français complet « M est la preMière, la dixièMe, la vingt-deuxièMe, la trente-septièMe, la cinquante-troisièMe, la lettre de rang soixante-treize dans cette phrase » et la lettre M. On compte les lettres, y compris les lettres accentuées, en ignorant espaces, ponctuation et traits d'union. Les données de départ sont : première position 1 ; deuxième position 10 ; troisième position 22 ; quatrième position 37 ; cinquième position 53 ; sixième position 73.

On repère d'abord le M initial : le premier terme est donc 1.
On poursuit le comptage jusqu'aux M de « première », « dixième », « vingt-deuxième », « trente-septième » et « cinquante-troisième » : les termes suivants sont 10, 22, 37, 53 et 73.
Le résultat obtenu est ainsi 1, 10, 22, 37, 53, 73 ; le contrôle consiste à relire chaque rang, en comptant les lettres, y compris les lettres accentuées, et à vérifier que la lettre rencontrée est bien M.

Pour lire les premiers termes, on part de la phrase et l'on compte les caractères jusqu'à chaque occurrence de la lettre choisie. La suite sert alors de relevé : chaque entier répond à la question « à quel rang apparaît la prochaine lettre repérée ? ».

Pour vérifier un énoncé auto-descriptif, on compare les rangs annoncés avec les rangs réellement observés. Une lecture directe de la phrase est préférable à une suite numérique ordinaire, car le mécanisme porte sur les lettres et leur position.

Pour comparer les versions française et anglaise, on conserve la même idée mais pas les mêmes nombres. La phrase anglaise de référence est « T is The firsT, fourTh, elevenTh, sixTeenTh, Twenty-fourTh, Twenty-ninTh, Thirty-ThirTh, Thirty-fifTh, Thirty-nineTh leTTer of This senTence » ; en comptant uniquement les lettres, sans distinguer les majuscules et les minuscules, ses dix premières occurrences de T donnent 1, 4, 11, 16, 24, 29, 33, 35, 39 et 45 : le T final de « Twenty-fourTh » est donc au rang 45.

La suite d'Aronson ne doit pas être confondue avec une suite auto-descriptive de nombres, dans laquelle les termes décrivent directement les chiffres ou les occurrences de nombres. Ici, le critère décisif est le support : chaque terme désigne le rang d'une lettre dans la phrase qui définit la suite. Une liste comme 1, 10, 22, 37 n'est donc une suite d'Aronson que si elle correspond aux positions des lettres prévues dans son énoncé.

Le comptage est une convention essentielle. Si l'on compte les mots au lieu des caractères, si l'on ignore certains signes ou si l'on change l'origine du comptage, les rangs ne sont plus ceux de la suite donnée. Le symptôme est un premier désaccord dès la vérification d'une occurrence ; il faut alors appliquer exactement la convention de l'énoncé.

La langue et la formulation sont également des conditions de validité. La suite française et la suite anglaise ne se transposent pas automatiquement : si la phrase est réécrite, il faut recalculer les positions au lieu de conserver les anciens termes.

Le prolongement naturel consiste à étudier l'auto-référence : une phrase devient à la fois l'objet décrit et l'outil qui le décrit. La suite d'Aronson montre ainsi qu'une suite peut dépendre d'un support linguistique, de la lettre choisie et des conventions de lecture, et pas seulement d'une règle arithmétique autonome.