Tarry Gaston

En 1900, Gaston Tarry met fin à une énigme posée par Euler en 1782. Il faudrait placer 36 combinaisons dans une grille de six lignes et six colonnes, en superposant deux carrés latins sans répétition de paire. Tarry montre, par une énumération exhaustive des possibilités, que cette organisation est impossible.

Ce fonctionnaire des finances, qui travaille surtout en Algérie, mène pourtant des recherches remarquées en arithmétique, en combinatoire et en géométrie. Son parcours illustre la place qu'un mathématicien amateur peut prendre dans l'histoire d'un problème majeur.

Gaston Tarry (1843–1913) est un mathématicien amateur français, né à Villefranche-de-Rouergue et mort au Havre. Fonctionnaire aux Contributions Diverses de l'Administration des finances, il accomplit l'essentiel de sa carrière en Algérie. Ses contributions touchent l'arithmétique, la combinatoire et la géométrie ; Édouard Lucas les remarque et les cite.

Son résultat le plus célèbre date de 1900. Euler avait posé en 1782 le problème des 36 officiers, qui revient à chercher deux carrés latins orthogonaux d'ordre 6. Un carré latin d'ordre 6 répartit six symboles dans une grille de 6 × 6 cases, chaque symbole apparaissant une fois par ligne et une fois par colonne. Deux tels carrés sont orthogonaux si leur superposition fait apparaître chacune des 36 paires possibles une seule fois. Tarry démontre par énumération exhaustive qu'aucune superposition de ce type n'existe à l'ordre 6.

Son nom demeure aussi attaché au point de Tarry dans le triangle, à la méthode de Tarry-Cazalas pour construire des carrés multimagiques et au problème de Prouhet-Tarry-Escott en théorie des nombres. Ces sujets distincts montrent l'étendue de ses travaux, dont certains aspects annoncent les jeux de grilles modernes.

Prenons le problème qui a rendu Tarry célèbre.
Données :
1. La grille possède 6 lignes et 6 colonnes.
2. Chaque carré latin emploie 6 symboles.
3. La superposition doit former 36 paires.
4. Pour que les carrés soient orthogonaux, ces 36 paires doivent être toutes différentes.

Étape 1. Prenons les deux premières lignes de deux carrés latins cycliques candidats d'ordre 6.
Carré A : A B C D E F / B C D E F A.
Carré B : α β γ δ ε ζ / β γ δ ε ζ α.
Dans chaque ligne, chaque symbole apparaît une seule fois ; dans chacune des six colonnes de cette portion, les deux symboles visibles sont aussi distincts.

Étape 2. Superposons ces deux portions. La case de la première ligne et de la deuxième colonne donne la paire (B, β). La case de la deuxième ligne et de la première colonne donne encore (B, β). Cette paire répétée suffit à écarter ce candidat : ses 36 paires ne peuvent pas être toutes différentes.

Étape 3. Le cas précédent illustre seulement le test local qui élimine un candidat ; il ne prouve pas l'impossibilité pour tous les autres. La preuve exhaustive classe et examine l'ensemble des candidats admissibles d'ordre 6, puis les élimine tous. Le résultat n'est donc pas une grille particulière, mais une impossibilité : aucune paire de carrés latins orthogonaux d'ordre 6 n'existe. S'il restait un candidat non couvert par ce classement, la conclusion exhaustive ne serait pas acquise.

Pour situer Gaston Tarry dans l'histoire des mathématiques, on repère d'abord le résultat daté de 1900 : la non-existence d'un carré gréco-latin d'ordre 6. Si la question porte sur l'énigme elle-même plutôt que sur son auteur, l'entrée consacrée au problème des 36 officiers est plus directe.

Devant une grille associée à son nom, on identifie le domaine avant de conclure. Une superposition de carrés latins relève de la combinatoire ; un point remarquable d'un triangle relève de la géométrie ; une égalité de sommes de puissances renvoie au problème de Prouhet-Tarry-Escott.

Pour comprendre la portée de sa méthode, on distingue une construction réussie d'une preuve d'impossibilité. Ici, l'énumération exhaustive ne fournit pas la grille recherchée : elle établit qu'aucune grille conforme aux conditions ne peut être construite à l'ordre 6.

Gaston Tarry et le problème des 36 officiers. Le premier est le mathématicien ; le second est le problème combinatoire posé par Euler. Une recherche sur la vie, la carrière ou l'ensemble des travaux concerne Tarry, tandis qu'une recherche sur la grille d'ordre 6 concerne le problème.

Carré latin et carré gréco-latin. Un carré latin organise une seule famille de symboles. Un carré gréco-latin superpose deux carrés latins orthogonaux : le test décisif porte alors sur l'unicité de chacune des paires obtenues.

Carré gréco-latin et carré multimagique. Le premier impose des conditions de répartition et d'orthogonalité entre symboles. Le second appartient à une autre famille de carrés, associée chez Tarry à la méthode de Tarry-Cazalas. Le nom commun de « carré » ne suffit donc pas à les identifier.

L'impossibilité concerne l'ordre 6. Le symptôme d'une généralisation abusive est l'affirmation qu'aucun carré gréco-latin ne peut exister. Il faut conserver la condition précise démontrée par Tarry : deux carrés latins orthogonaux d'ordre 6 ne peuvent pas être superposés.

Une énumération exhaustive n'est pas un simple essai. Quelques superpositions qui échouent ne prouvent rien sur toutes les autres. La conclusion devient valide seulement lorsque la méthode couvre l'ensemble des possibilités compatibles avec les conditions.

« Amateur » décrit ici une situation professionnelle. Réduire ce mot à un manque de rigueur ferait manquer le fait observable : les contributions de Tarry ont été remarquées et citées par Édouard Lucas, et son résultat de 1900 reste une référence en combinatoire.

Un nom associé ne signifie pas un seul objet mathématique. Le point de Tarry, la méthode de Tarry-Cazalas et le problème de Prouhet-Tarry-Escott relèvent de prolongements différents. Il faut identifier le domaine et l'objet avant d'attribuer à l'un les propriétés d'un autre.

Problème des 36 officiers — Pour approfondir l'énigme d'Euler et le résultat d'impossibilité qui a rendu Tarry célèbre.

Carré latin — Pour préciser la structure combinatoire dont l'orthogonalité est au cœur du problème d'ordre 6.

Carré multimagique — Pour découvrir l'autre famille de carrés liée au nom de Tarry par la méthode de Tarry-Cazalas.

Problème de Prouhet-Tarry-Escott — Pour prolonger le portrait de Tarry vers la théorie des nombres et les sommes de puissances.