théorème de Maekawa

Imaginez six plis qui partent du même point d’une feuille. Marquez chacun comme un pli montagne, bombé, ou un pli vallée, creusé. Si la feuille peut se refermer à plat autour de ce point, les deux comptes ne sont jamais égaux : l’un dépasse l’autre de deux.

Avec quatre plis montagne et deux plis vallée, l’écart vaut bien deux. Ce comptage donne un contrôle immédiat : un total impair ou des nombres égaux excluent un aplatissement complet au sommet considéré.

Le théorème de Maekawa porte sur un sommet d’un origami qui peut être aplati complètement. Un pli montagne forme une arête convexe vers le haut ; un pli vallée forme une concavité. On note M le nombre de plis montagne issus du sommet et V le nombre de plis vallée. Pour un pliage plat, leur différence vaut 2 ou −2. Autrement dit, l’un des deux types apparaît exactement deux fois de plus que l’autre.

La somme M + V est donc paire : si M − V vaut ±2, M et V ont la même parité. Cette parité est une conséquence du théorème, mais elle est moins précise que l’écart imposé.

Le théorème est généralement attribué à Jun Maekawa, ingénieur et mathématicien japonais né en 1958. Jacques Justin et S. Murata l’avaient toutefois découvert auparavant, indépendamment.

Si un sommet d’origami appartient à un pliage qui peut être aplati complètement, alors le nombre M de plis montagne et le nombre V de plis vallée issus de ce sommet vérifient :

Le signe dépend du type de pli majoritaire. En particulier, le nombre total M + V de plis au sommet est pair.

Le contrôle s’effectue localement, à un sommet précis. Il faut que tous les plis qui en partent soient classés montagne ou vallée et que l’on étudie un origami pouvant être aplati complètement. Le résultat doit être vérifié séparément à chaque sommet du motif.

Un sommet portant trois plis montagne et trois plis vallée fournit un contre-cas concret : l’écart vaut 0, et non ±2. Cette affectation ne peut donc pas convenir à un pliage plat autour de ce sommet. Il faut modifier le choix montagne-vallée ou renoncer à l’hypothèse d’un aplatissement complet.

Considérons six plis issus d’un même sommet. Les données sont quatre plis montagne et deux plis vallée. Le schéma matérialise exactement ces six demi-droites ; il sert à contrôler le comptage, sans affirmer à lui seul que tout le motif se replie à plat.

1. On compte M = 4 plis montagne.
2. On compte V = 2 plis vallée.
3. On calcule la différence : M − V = 4 − 2 = 2.
4. On contrôle aussi le total : M + V = 4 + 2 = 6, qui est pair.

L’affectation satisfait donc la condition de Maekawa au sommet. Le contrôle est refaisable en inversant tous les types : deux montagnes et quatre vallées donnent M − V = −2, l’autre valeur autorisée.

Lorsqu’un diagramme d’origami attribue un type à chaque pli, comptez séparément les montagnes et les vallées autour de chaque sommet intérieur non dégéné auquel s’appliquent les hypothèses locales de pliage plat. Un écart autre que deux en valeur absolue signale immédiatement une incompatibilité avec un pliage plat.

Pour un premier tri d’un tel sommet intérieur admissible, vérifiez d’abord que le nombre total de plis est pair. Si ce test échoue, il est inutile de poursuivre le comptage montagne-vallée ; s’il réussit, calculez encore l’écart, car la parité seule ne suffit pas.

Si le sens d’observation échange les appellations montagne et vallée, les deux comptes s’inversent. Le signe change, mais la valeur absolue de l’écart reste égale à deux.

Un pli montagne et un pli vallée ne sont pas deux épaisseurs d’un même pli. Le premier forme une arête convexe vers le haut, le second une concavité ; retourner la feuille peut échanger ces appellations, mais pas supprimer la distinction.

Ne confondez pas « nombre total pair » et « condition de Maekawa vérifiée ». Six plis donnent bien un total pair, mais trois montagnes et trois vallées ont un écart nul : ce cas ne satisfait pas le théorème.

La relation de Maekawa est une condition nécessaire du pliage plat, pas une preuve suffisante. Obtenir un écart de ±2 autorise seulement à poursuivre l’étude du motif ; cela ne démontre pas, à lui seul, que l’origami entier peut être aplati.

Le comptage est local. Une somme correcte sur l’ensemble d’un dessin peut masquer un sommet fautif. Il faut reprendre séparément les plis issus de chaque sommet et tester chacun de leurs écarts.

Le signe + ou − n’est pas une préférence géométrique : il indique seulement quel type est majoritaire dans la convention adoptée. Le contrôle robuste porte sur la valeur absolue de M − V, qui doit être 2.

Le théorème de Kawasaki prolonge l’étude des conditions locales autour d’un sommet d’origami plat.

La fiche origami replace les plis montagne, les plis vallée et leurs sommets dans le vocabulaire général du pliage.