théorème de Kawasaki

Imaginez plusieurs plis tracés comme des rayons autour d’un même point. Ils découpent le tour complet en angles. Pour que ce sommet puisse s’aplatir, additionnez un angle sur deux : les deux groupes doivent chacun occuper un demi-tour, soit 180°.

Cette alternance exprime l’équilibre nécessaire entre les secteurs qui se superposent lors du pliage. Le critère concerne un seul sommet intérieur ; il ne garantit pas, à lui seul, que tout un origami à plusieurs sommets se repliera sans conflit.

Le théorème de Kawasaki caractérise la pliabilité à plat locale d’un motif de plis autour d’un unique sommet intérieur. Les plis sont des demi-droites issues de ce point. Leur nombre est pair, noté 2n, et les angles positifs entre deux plis consécutifs sont numérotés dans l’ordre autour du sommet.

Si ces angles sont notés par les lettres grecques alpha, de ${\alpha }_1\backslash alpha\_1$ à ${\alpha }_{2n}\backslash alpha\_\{2n\}$, le sommet est pliable à plat si et seulement si la somme des angles de rang impair égale celle des angles de rang pair. Comme le tour complet vaut 360°, chacune de ces deux sommes vaut alors 180°.

Le résultat est local : il affirme qu’une superposition à plat existe au voisinage du sommet, pour une attribution convenable des plis montagne et vallée. Il ne choisit pas cette attribution et ne règle ni les collisions éloignées du sommet ni la compatibilité entre plusieurs sommets. Le théorème est généralement attribué à Toshikazu Kawasaki, avec des découvertes indépendantes dues notamment à Jacques Justin et Kôdi Husimi.

Autour d’un sommet intérieur, considérons 2n plis distincts et les 2n angles consécutifs, tous strictement positifs. Si leur somme vaut 360°, alors ce sommet est pliable à plat si et seulement si :

De façon équivalente, la somme des angles impairs et celle des angles pairs valent chacune 180°. Le choix de l’angle numéroté en premier ne change pas le verdict.

Le critère s’applique à un sommet situé à l’intérieur d’une feuille, avec un nombre pair de plis distincts. Il faut connaître tous les angles entre plis consécutifs dans leur ordre circulaire. Ces angles doivent être positifs et former ensemble le tour complet de 360°.

Le test fournit une condition d’existence locale d’un pliage à plat. Il ne teste pas un motif entier comportant plusieurs sommets. Par exemple, deux sommets peuvent satisfaire séparément l’égalité alternée tout en imposant ailleurs des superpositions incompatibles ; il faut alors analyser la compatibilité globale du motif. Un sommet placé sur le bord ne présente pas non plus un tour complet : cette version du critère ne s’y applique pas directement.

Un sommet porte six plis. En tournant autour de lui, on mesure successivement les six angles 40°, 80°, 60°, 50°, 80° et 50°. Le schéma associe les secteurs alternés pour rendre le contrôle visible.

1. Le tour est complet : 40° + 80° + 60° + 50° + 80° + 50° = 360°.
2. Les angles de rang impair totalisent 40° + 60° + 80° = 180°.
3. Les angles de rang pair totalisent 80° + 50° + 50° = 180°.
4. Les deux sommes sont égales : le critère de Kawasaki est satisfait.

Le sommet est donc localement pliable à plat. Pour refaire le contrôle, partez de n’importe quel secteur : décaler tous les rangs d’une place échange simplement les deux sommes.

Pour contrôler un dessin à un seul sommet avant de plier, relevez les angles dans l’ordre, puis additionnez un secteur sur deux. Si les deux totaux valent 180°, le dessin passe le test local ; sinon, il faut modifier au moins une direction de pli.

Pour concevoir un nouveau sommet, choisissez d’abord des angles impairs totalisant 180°, puis des angles pairs ayant le même total, tout en gardant chaque angle positif. Le théorème de Kawasaki convient pour cette géométrie ; le théorème de Maekawa intervient ensuite lorsqu’on étudie les plis montagne et vallée.

Pour un patron à plusieurs sommets, appliquez ce contrôle à chaque sommet, puis poursuivez par une analyse globale. La seconde étape est indispensable dès que des couches éloignées peuvent se rencontrer ou que des choix locaux doivent rester compatibles.

Avec le théorème de Maekawa. Kawasaki porte sur les angles entre plis ; Maekawa porte sur le nombre de plis montagne et vallée. Un sommet dont les sommes alternées valent 180° passe le test de Kawasaki, même si aucune affectation montagne-vallée n’a encore été indiquée.

Avec la pliabilité globale. Kawasaki tranche la question au voisinage d’un sommet isolé. Si un patron en comporte plusieurs, la réussite de tous les tests locaux ne suffit pas à exclure une incompatibilité ou une collision entre couches à l’échelle de la feuille.

Nombre impair de plis. L’alternance ne se referme pas en deux familles autour du sommet. Le critère sous cette forme exige 2n plis ; il faut d’abord vérifier le modèle du sommet et les plis effectivement présents.

Angle nul. Deux plis confondus donnent un secteur de 0° : ils ne constituent pas deux directions distinctes. Il faut les traiter comme un même pli avant de recompter et de renuméroter les angles.

Mesures arrondies. Avec des angles relevés sur un dessin, des totaux de 179,9° et 180,1° peuvent refléter la précision de l’instrument. Il faut comparer l’écart à l’incertitude de mesure, tandis que le théorème porte sur une égalité exacte.

Validation locale seulement. Une égalité alternée correcte ne constitue pas un certificat pour toute la feuille. Après le test de chaque sommet, il reste à contrôler la cohérence des choix de plis et l’ordre des couches.

Le théorème de Maekawa complète l’étude locale en reliant, au même sommet, le nombre de plis montagne et le nombre de plis vallée.

La fiche consacrée à l’origami replace ce critère angulaire dans l’ensemble des objets et des gestes du pliage.

L’article Origami et pliages pour construire montre comment la géométrie du pliage peut aussi devenir un principe de construction.