théorème de la pizza

Imaginez une pizza ronde coupée par plusieurs droites qui se croisent toutes au même point, mais pas nécessairement au centre. Les parts obtenues n'ont généralement pas la même taille. Pourtant, si deux personnes prennent les secteurs en alternance, la parité du nombre de coupes permet de prévoir si leurs quantités totales seront égales ou si l'un des lots sera plus grand.

Le théorème de la pizza porte sur un disque et sur un point intérieur C. On trace par C un nombre n de cordes, chaque nouvelle corde étant obtenue en tournant la précédente d'un angle π/n. Ces n cordes déterminent 2n secteurs. Le secteur qui contient le centre O du disque reçoit l'indice 1, puis les autres sont numérotés dans un sens fixé. Cette convention suppose que O n'est situé sur aucune corde.

La lettre A désigne la somme des aires des secteurs impairs et la lettre B celle des secteurs pairs. Si n est pair, y compris pour n = 2, les deux sommes sont égales. Si n est impair et laisse un reste de 1 dans la division par 4, A est supérieure à B. Si n est impair et laisse un reste de 3, A est inférieure à B. Le petit cas n = 1 donne donc A > B.

Si n cordes concourantes d'un disque sont séparées successivement par l'angle π/n, alors leurs 2n secteurs peuvent être distribués en alternance. En appelant A le total des secteurs impairs, à partir de celui qui contient le centre, et B le total des secteurs pairs : n pair entraîne A = B, y compris pour n = 2 ; n ≡ 1 (mod 4) entraîne A > B ; n ≡ 3 (mod 4) entraîne A < B. Pour n = 1, A > B.

Le domaine est un disque circulaire. Toutes les coupes doivent être des cordes du disque, passer par le même point intérieur C et se succéder avec le même angle π/n. Il faut aussi fixer le sens de numérotation et commencer par l'unique secteur contenant le centre O ; autrement dit, O ne doit appartenir à aucune corde pour que cette désignation soit sans ambiguïté.

Si une corde ne passe pas par C, ou si deux angles successifs diffèrent, le théorème ne donne aucun verdict sur les deux totaux. Il faut alors calculer les aires des secteurs obtenus. De même, lorsque C = O ou qu'une corde traverse O, la règle de départ de la numérotation doit être remplacée par une convention explicite et le cas doit être étudié directement.

Prenons un disque de centre O et un point C distinct de O. Traçons quatre cordes par C. L'angle entre deux cordes consécutives vaut π/4, soit 45°, et les cordes forment huit secteurs. Le secteur qui contient O porte le numéro 1 ; les suivants sont numérotés de 2 à 8 dans le sens horaire. La figure rend cette construction et l'alternance des lots visibles.

1. Attribuons à A les secteurs 1, 3, 5 et 7.
2. Attribuons à B les secteurs 2, 4, 6 et 8.
3. Le nombre de cordes vaut n = 4 : il est pair.
4. Le cas d'égalité du théorème s'applique, donc A = B.

Le contrôle ne consiste pas à comparer les parts une par une : elles peuvent être inégales. Il suffit de vérifier le point commun C, les quatre écarts de 45°, le départ de la numérotation dans le secteur contenant O et l'alternance des quatre secteurs de chaque lot.

Pour organiser un partage en deux lots, on marque un point intérieur, on trace des coupes droites régulièrement espacées en angle, puis chacun reçoit un secteur sur deux. Avec quatre cordes, le théorème garantit l'égalité des aires totales même si les parts isolées diffèrent.

Si l'objectif est plutôt d'obtenir des parts toutes égales, on place les coupes au centre du disque. Le critère observable change : ce ne sont plus seulement les deux lots alternés qui doivent avoir la même aire, mais chaque secteur pris séparément.

Sur un dessin ou une découpe réelle, on contrôle d'abord que toutes les lignes se croisent au même point et que les angles sont égaux. Si l'un de ces deux indices manque, un calcul d'aires remplace l'application du théorème.

Partage équitable des deux lots et parts toutes égales. Le théorème compare la somme des secteurs impairs à celle des secteurs pairs. Dans l'exemple à quatre cordes, A = B peut être vrai alors que deux secteurs voisins ont des aires différentes.

Corde et rayon. Une corde est un segment dont les deux extrémités appartiennent au cercle ; elle traverse ici tout le disque par C. Un rayon relie le centre au cercle. Une coupe qui s'arrête en C n'est donc pas l'une des cordes exigées par le théorème.

Le petit cas pair suit la règle générale. Avec n = 2, les deux sommes alternées sont égales : le verdict est A = B. L'égalité vaut donc pour tout nombre pair.

Un nombre impair ne produit pas toujours le même avantage. Pour n ≡ 1 (mod 4), A > B ; pour n ≡ 3 (mod 4), A < B. Il faut donc calculer le reste de n dans la division par 4, pas seulement constater que n est impair.

La numérotation porte une information. Le secteur 1 doit contenir le centre du disque. Commencer ailleurs peut échanger les étiquettes impaires et paires, donc inverser le sens d'une inégalité. Il faut reprendre la convention avant de nommer A et B.

Le centre peut créer un cas dégénéré. Si C coïncide avec le centre, tous les secteurs ont la même aire et aucun secteur unique ne contient ce centre. Si le centre est sur une corde, le secteur initial est également ambigu. Dans ces situations, on fixe une autre convention et on compare directement les aires, au lieu d'appliquer les inégalités telles quelles.

Le prolongement naturel consiste à comparer systématiquement les quatre classes possibles du nombre n modulo 4. Cette lecture met en regard l'alternance des secteurs, le changement de sens de l'inégalité pour les nombres impairs et le cas n = 2, qui suit la règle générale d'égalité pour n pair. Elle invite aussi à examiner séparément les configurations où le centre se trouve sur une corde, car la convention qui définit le premier secteur n'y est plus disponible.