théorème de Haga

Prenez une feuille carrée et utilisez ses bords comme une unité. En amenant un coin sur un point choisi du bord opposé, le pli fait apparaître de nouveaux repères. Un pli de Haga bien choisi marque ainsi exactement le tiers d'un côté, sans règle graduée.

L'idée du théorème est plus générale : la géométrie du carré et des plis suffit à construire les fractions, donc les nombres rationnels, à partir de cette unité.

Le théorème de Haga est un résultat d'origamique, la discipline mathématique qui étudie les constructions obtenues par pliage. Il affirme que, sur une feuille carrée dont le côté sert d'unité, tout nombre rationnel peut être construit au moyen de plis. Un nombre rationnel est le quotient de deux entiers, avec un dénominateur non nul.

Le pli élémentaire appelé pli de Haga exploite l'image d'un coin amené sur un point précis d'un côté opposé. La pliure est alors la médiatrice du segment joignant le coin à son image : chacun de ses points est à égale distance de ces deux positions. Cette contrainte détermine d'autres intersections exactes sur les bords.

Le cas classique construit 1/3 : le coin inférieur droit est amené sur le milieu du côté supérieur, et l'image pliée du côté inférieur coupe le côté gauche au tiers de sa hauteur. La construction de 1/n mentionnée dans le résultat général concerne tout entier positif n utilisé comme dénominateur.

Si l'on part d'une feuille carrée, que la longueur de son côté vaut une unité et que les plis autorisés sont effectués exactement, alors tout nombre rationnel peut être construit par pliage à partir de cette unité. En particulier, pour tout entier positif n, une suite adaptée de plis construit la fraction 1/n. Le pli de Haga fournit directement des fractions simples comme 1/3.

Le support est un carré et son côté fixe l'unité de longueur. Les points utilisés, par exemple un sommet ou le milieu d'un côté, doivent être repérés exactement. Enfin, le coin doit coïncider avec sa destination : la pliure obtenue est alors la médiatrice exacte du déplacement.

Une feuille seulement rectangulaire ne satisfait pas l'hypothèse du théorème sous cette forme. En reproduisant le même geste sur un rectangle non carré, l'intersection obtenue n'est généralement plus au tiers du côté. Il faut d'abord disposer d'un carré, ou employer une construction démontrée pour les proportions du rectangle considéré.

On veut marquer exactement 1/3 du côté gauche d'un carré unité. Les données sont le carré de côté 1, son coin inférieur droit B et le milieu M du côté supérieur. On adopte des coordonnées : le coin inférieur gauche est l'origine, l'axe horizontal suit le bas du carré et l'axe vertical suit son côté gauche.

1. Amenez B sur M. La pliure est l'ensemble des points situés à la même distance de B et de M.

2. Dans ce repère, B a pour coordonnées (1 ; 0) et M a pour coordonnées (1/2 ; 1). L'égalité des distances donne la pliure suivante :

3. Après pliage, le côté inférieur passe par M. Son image a une pente égale à 4/3 et coupe le côté gauche, où x vaut 0, au point P :

4. Le segment allant du coin inférieur gauche à P mesure donc exactement 1/3 du côté. Pour contrôler le résultat, les deux autres tiers ont ensemble la longueur 2/3, et 1/3 + 2/3 = 1.

Pour partager un bord de papier sans graduation, le pli de Haga donne un repère exact comme 1/3. Une règle graduée reste préférable si l'on cherche une mesure physique avec une précision annoncée plutôt qu'une construction géométrique.

En atelier de mathématiques, on peut déplier la feuille, nommer les points puis vérifier la fraction par un calcul de distances. Le pli devient ainsi une démonstration manipulable, pas seulement une recette.

Pour comparer des moyens de construction, on observe les opérations permises. Le pliage est pertinent lorsqu'une coïncidence entre points ou droites impose la nouvelle pliure ; la règle et le compas suivent d'autres contraintes.

Le pli de Haga est une construction particulière ; le théorème de Haga est le résultat général sur la construction des nombres rationnels. Marquer 1/3 avec le geste décrit illustre le théorème, mais ne constitue pas à lui seul la construction de toutes les fractions.

Une fraction rationnelle n'est pas une mesure décimale approchée. Le repère 1/3 issu du pli est exact dans le modèle géométrique, tandis que 0,33 n'en est qu'une approximation : trois fois 0,33 donne 0,99, et non 1.

Dans le modèle mathématique, points et plis sont exacts. Sur une feuille réelle, l'épaisseur du trait, la souplesse du papier et un décalage entre le coin et sa cible produisent une approximation observable. Il faut annoncer la précision du repérage et contrôler la coïncidence avant de marquer le pli.

L'écriture 1/n exige que l'entier n soit non nul. Avec n = 0, il n'existe aucune fraction 1/0 à construire ; il faut écarter ce cas plutôt que chercher un pli dégénéré. Pour un n négatif, la longueur géométrique construite matérialise la valeur absolue 1/|n| ; le signe demande en plus une orientation ou une convention.

Le théorème garantit les longueurs rationnelles ; il ne dit pas que tout réel obtenu ou visé par pliage est rationnel. Avant d'appliquer la procédure 1/n, il faut donc vérifier que la cible est bien décrite comme un quotient d'entiers.

Le glossaire origami replace les plis mathématiques dans la pratique générale du pliage de papier.

L'article Origami et pliages pour construire prolonge l'étude des constructions géométriques réalisées avec une feuille.