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Passer du fini à l'infini sans précautions

Certains paradoxes de la logique ensembliste surviennent lorsque l'on transpose aux ensembles infinis des raisonnements valables pour des ensembles finis. Par exemple, l'axiome « le tout est plus grand que la partie », l'une des évidences logiques classiques, n'est plus vérifié pour des collections infinies : il y a « autant » de nombres pairs ou de nombres premiers que de nombres entiers, bien qu'il y ait « davantage » de nombres entiers que de nombres pairs (le double) ou que de nombres premiers (cette fois on ne connaît pas la proportion exacte). Galilée s'est interrogé sur le paradoxe concernant l'infinité des nombres entiers et des nombres pairs : à chaque nombre entier, on peut faire correspondre un nombre pair, et pourtant il y deux fois plus d'entiers que de nombres pairs…
On peut évoquer ce paradoxe en termes de quantité d'information : dans un objet ordinaire, le tout contient davantage d'information que ses parties non équipotentes ; dans un objet gigogne, il en contient autant qu'une ou certaines parties, à statut d'attracteurs ; dans un objet fractal, le tout contient autant d'information qu'une de ses parties quelconques.