Si les pratiquants du cyclisme sur route ou sur piste connaissent essentiellement le cercle, certains adeptes du sport en salle utilisent un appareil appelé « vélo elliptique ». Cet appareil qui n'a pas grand-chose à voir avec un vélo, même d'appartement, est censé renforcer les capacités cardio-vasculaires et respiratoires. Mais en quoi est-il elliptique ?
Si l'on en croit les notices des fabricants, un vélo elliptique est censé reproduire approximativement les mouvements de la course à pied, qui s'apparentent à des cycloïdes, sans l'inconvénient des chocs du pied sur le sol, qui peuvent finalement mettre à mal les articulations du sportif. Sur ces appareils, c'est alors le point de contact du pied de l'utilisateur sur les pédales dont les publicités prétendent qu'il décrit une ellipse.
Un premier modèle
Ce modèle, qui date d'environ une vingtaine d'années, présente une roue d'inertie (de rayon sur l'illustration) destinée à fluidifier les mouvements, et deux longues pédales (le segment correspond à l'une de ces pédales) reliées d'une part à la roue d'inertie (en ) et d'autre part à une poignée rigide qui pivote autour d'un point ( sur l'illustration). L'utilisateur peut agir simultanément sur les pédales et sur les poignées pour simuler une marche rapide ou une course. La question qui se pose alors est la suivante : quelle courbe décrit le point de contact du pied sur la pédale ? S'agit-il d'une ellipse comme le prétendent les publicités ?
Une première remarque est que le point de contact du pied de l'utilisateur avec la pédale peut varier selon sa taille, mais également selon sa posture. Supposons que l'utilisateur puisse actionner l'appareil en posant son pied en (même si c'est un cas limite difficile à réaliser). Le point de contact décrirait alors des allers-retours successifs sur des arcs de cercle de centre et de rayon . Si, au contraire, nous supposons qu'il puisse poser son pied en , le point de contact décrirait alors le cercle de centre et de rayon .
En faisant varier continûment le point d'appui entre et , on obtient une suite de courbes dont aucune n'est véritablement une ellipse, hormis le cercle final.
Lorsque le point de contact du pied sur la pédale est situé au milieu du segment , la courbe décrite par ce point est une courbe intermédiaire entre l'arc de cercle de rayon et le cercle de rayon . Les courbes obtenues sont connues sous le nom de courbes du trois-barres (voir sur le site mathcurve.com). Elles ont été étudiées par plusieurs mathématiciens à la fin du XIXe siècle : Pafnouti Tchebychev (1875), Gaston Darboux (1879) et Gabriel Koenigs (1897).
et désignent les deux positions extrêmes du point , et les positions correspondantes de l'articulation des pédales avec la roue d'inertie.
**Sachant que mesure 50 cm et mesure 75 cm, quelle est la valeur de l'angle ?**
Un autre modèle
Dans ce modèle plus récent, et plus compact, l'utilisateur, contrairement à sa position sur le modèle précédent, fait face à la roue d'inertie. Les poignées, quant à elles, sont reliées à l'aide d'une tige rigide aux pédales. Chaque bloc-pédale est fixé en à la roue d'inertie, et coulisse en sur une tige métallique rectiligne. Le point décrit donc un cercle de centre et de rayon , tandis que le point effectue des allers-retours sur un segment de droite.
La courbe décrite par le point de contact du pied sur la pédale est donc intermédiaire entre un segment de droite et un cercle. Elle se rapproche donc davantage d'une ellipse que dans le modèle précédent.
