Un sábado por la tarde, sentado ante su escritorio y rodeado de documentos y datos, Claudi Alsina Català tuvo la certeza. No una vaga intuición ni una coincidencia más que añadir a la lista, sino un verdadero descubrimiento. El matemático de la Universidad de Barcelona acababa de dar con el sistema oculto de proporciones de la Sagrada Família: un módulo de 7,5 metros y las razones entre los divisores de 12. Como escribe en sus memorias, citadas en el artículo de Slate.fr republicado de The Conversation, «el módulo de 7,5 metros y las razones entre los divisores de 12 (1:4, 1:3, 1:2, 3:4, 2:3, 1) parecían explicar multitud de cosas».
2026 marca el centenario de la muerte de Antoni Gaudí. Una ocasión ideal para contemplar de otro modo el edificio más visitado de España: ya no como una catedral extravagante, sino como un puzle numérico cuyas instrucciones alguien ha vuelto a encontrar por fin.
¿Por qué 12? Porque 12 es generoso
Antes de entrar en cifras, planteemos la pregunta: ¿por qué 12 y no 10 u 8? La respuesta es a la vez religiosa y matemática.
En el plano simbólico, el 12 está por todas partes en la Biblia: doce hijos de Jacob, doce tribus de Israel, doce apóstoles, una corona de doce estrellas en el Apocalipsis. Gaudí, que concebía la basílica como una síntesis de arquitectura y simbolismo religioso, no tenía motivo alguno para buscar en otro lugar. Pero, matemáticamente, el 12 también es una elección extraordinariamente práctica. Sus divisores son 1, 2, 3, 4, 6 y 12: seis divisores para un número tan pequeño son muchos. En comparación, 10 solo tiene cuatro (1, 2, 5, 10). Esta riqueza permite construir proporciones sencillas: mitades, tercios, cuartos, dos tercios, tres cuartos... Para un arquitecto que quiere que sus columnas, bóvedas y torres encajen visualmente, es un tesoro.
Eso es exactamente lo que demuestra el estudio de Alsina Català publicado en la revista Suma: la basílica puede leerse de nuevo como una red de proporciones sencillas derivadas de los divisores de 12, organizada en torno a una unidad básica de 7,5 metros.
7,5 metros: el ladrillo invisible
Tomemos 7,5 metros. Multipliquémoslos por 12: obtenemos 90 metros, la longitud total de la basílica. Multipliquémoslos por 8: 60 metros, su anchura. Por 6: 45 metros, la anchura de la nave principal. Las alturas obedecen al mismo principio: la bóveda del ábside alcanza los 75 metros (7,5 × 10), la del transepto los 60 metros (7,5 × 8), la nave los 45 metros (7,5 × 6), las naves laterales los 30 metros (7,5 × 4) y el coro los 15 metros (7,5 × 2).
Los multiplicadores son exactamente los divisores de 12 y sus múltiplos: 2, 4, 6, 8, 10, 12. Nada es arbitrario.
La torre de Jesús, pieza clave del edificio, alcanza los 172,5 metros, es decir, 7,5 × 23. Según la documentación oficial de la basílica, esta altura remite a la de la colina de Montjuïc, que domina Barcelona. El brazo superior de su cruz —17 metros de alto y 13,5 metros de ancho— fue instalado el 20 de febrero de 2026, según Vatican News, justo a tiempo para el centenario. Jordi Faulí, arquitecto jefe de las obras y antiguo doctorando de Alsina Català, declaró que esta culminación «representa mucho más que la conclusión de una fase de construcción: es el resultado de años de trabajo y de estudio del legado de Gaudí».
Un bosque de columnas retorcidas y cubiertas formadas por rectas que generan curvas
Las proporciones no son más que la superficie del problema. En el interior, Gaudí desplegó un arsenal geométrico en el que merece la pena detenerse.
Las columnas de la nave son columnas de doble torsión helicoidal: un nombre bárbaro para una idea visual inmediata. Imaginemos dos columnas salomónicas —esas columnas en espiral que se encuentran en los baldaquines barrocos— que giran en sentidos opuestos y luego se funden. Su base adopta la forma de una estrella poligonal de contornos redondeados. Al elevarse, cada columna se ramifica como un árbol, y sus ramas se unen a las bóvedas y las torres. El resultado se parece menos a una catedral que a un bosque petrificado. Como detallan trabajos de modelización publicados en Automation in Construction, esta geometría se genera mediante dos rectángulos que giran en sentidos opuestos alrededor de un mismo eje, una operación que Gaudí realizaba físicamente con yeso antes de que existieran los ordenadores.
Las vidrieras de las bóvedas, por su parte, son hiperboloides de una hoja. Se trata de una superficie curva —una forma que se parece a un tonel estrechado por el centro—, pero que puede construirse por completo con rectas. Tienda hilos entre dos círculos girados entre sí y obtendrá exactamente esta superficie. Consecuencia práctica: es más sencilla de construir que cualquier bóveda gótica y extraordinariamente eficaz para difundir la luz. Como señala un estudio de Silvia Benvenuti sobre las superficies regladas en la arquitectura de Gaudí, estas formas —hiperboloides, paraboloides hiperbólicos, helicoides— constituyen una firma geométrica que sitúa a Gaudí entre la herencia gótica catalana y la anticipación de una arquitectura topológica moderna.
La cadena suspendida que se convierte en arco
He aquí la idea más hermosa de toda la arquitectura de la Sagrada Família, y también la más fácil de entender. Suspenda una cadena entre dos puntos. Adopta una forma natural, dictada por la gravedad: una curva llamada catenaria. Ahora invierta mentalmente esa cadena. La curva resultante es la forma ideal de un arco portante porque trabaja enteramente a compresión: sin tracción ni riesgo de fisura. Gaudí lo había comprendido y construía maquetas de hilos y pesos para calcular gráficamente las direcciones de sus columnas y sus arcos.
Como detalla un estudio publicado por el Institut d'Estudis Catalans, firmado también por Alsina Català, Jordi Faulí y Josep Gómez, Gaudí había experimentado incluso este método en la Colònia Güell antes de aplicarlo a la Sagrada Família. En sus propias palabras, recogidas por el arquitecto Cèsar Martinell: «Las curvas funiculares de la Sagrada Família las encontré gráficamente, y las de la Colònia Güell, experimentalmente; pero ambos procedimientos son uno y el mismo, y uno es hijo del otro.» El resultado: sin contrafuertes macizos ni arbotantes. La catedral gótica necesitaba apuntalamientos exteriores para no derrumbarse. La Sagrada Família se sostiene por sí sola.
33, el número que firma la fachada de la Pasión
Un último detalle, casi travieso. En la fachada de la Pasión figura un cuadrado mágico: una cuadrícula en la que la suma de cada fila, columna y diagonal es la misma. Un cuadrado mágico clásico de 16 casillas que utiliza los números enteros del 1 al 16 tiene una constante —la suma idéntica en cuestión— de 34. El de la Sagrada Família tiene una constante de 33, la edad tradicional de Cristo durante la Pasión. Para lograrlo, el escultor Josep Maria Subirachs retomó la estructura del célebre cuadrado de Albrecht Dürer en su grabado Melencolia I (1514), lo giró 180° y redujo en 1 cuatro de sus números. La Royal Institution lo confirma: el cuadrado de la Sagrada Família no es un cuadrado mágico «normal» en sentido estricto, pues algunos números enteros se repiten, pero la exigencia simbólica prima sobre la pureza matemática. No es una trampa: es una elección.
Esto es lo que revela la lectura matemática de la Sagrada Família. No un edificio decorado con símbolos religiosos, sino un sistema en el que cada proporción, cada curva y cada número remiten al mismo tiempo a una necesidad estructural y a una intención simbólica. Los dos lenguajes dialogan. Quizá ese sea el verdadero genio de Gaudí: haber encontrado un vocabulario en el que Dios y la geometría dicen lo mismo.
Conceptos clave
Cómo los divisores de 12 determinan las proporciones
Para comprender por qué la elección del número 12 como base de un sistema modular es matemáticamente eficaz, hay que entender qué es un sistema de proporciones arquitectónicas. La idea es sencilla: se elige una longitud básica m (aquí, 7,5 metros) y se generan todas las dimensiones importantes del edificio mediante expresiones de la forma k × m, donde k es un número entero o una razón sencilla. Para que estas razones sean «armónicas» —es decir, visualmente legibles y cómodas de construir—, las fracciones implicadas deben ser sencillas: 1/2, 1/3, 1/4, 2/3, 3/4.
Ahora bien, estas fracciones son precisamente las razones entre divisores de 12. Los divisores de 12 son {1, 2, 3, 4, 6, 12}. Las razones que pueden formarse entre ellos son: 1/12, 1/6, 1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 3/4, 1. Si nos limitamos a las razones menores o iguales que 1 y que implican divisores «pequeños», recuperamos exactamente la lista identificada por Alsina Català: 1:4, 1:3, 1:2, 3:4, 2:3, 1.
Compárese con 10, cuyos divisores son {1, 2, 5, 10}: las únicas relaciones sencillas disponibles son 1/2 y 1/5. Con 1/5 = 0,2 se obtienen longitudes como 1,5 m o 3 m a partir de un módulo de 7,5 m, poco prácticas para las proporciones visuales. El número 12, en cambio, es lo que los especialistas en teoría de números llaman un número altamente compuesto (en sentido informal): para su tamaño, posee un número excepcional de divisores. El primer número con más divisores que 12 es 24 (que tiene 8). Utilizar 12 como base de un sistema de proporciones equivale a maximizar la riqueza armónica sin coste simbólico, pues el 12 ya está presente en los textos sagrados.
En cuanto a la constante mágica, recordemos por último que, para un cuadrado mágico normal de orden n que utiliza los números enteros del 1 a n², la constante vale n(n² + 1)/2. Para n = 4: 4 × 17 / 2 = 34. El cuadrado de la Sagrada Família rompe esta fórmula al repetir algunos números enteros y omitir otros, de modo que la suma de cada fila sigue siendo 33. No es un cuadrado mágico en el sentido estricto de la teoría combinatoria, pero sí un objeto matemático coherente, construido mediante una transformación explícita (rotación de 180° y sustracción de 1 en cuatro casillas) a partir del cuadrado de Dürer, como establece el análisis de la Royal Institution.
