Un sabato pomeriggio, seduto alla sua scrivania e circondato da documenti e dati, Claudi Alsina Català ne ebbe la certezza. Non una vaga intuizione, non un’altra coincidenza da aggiungere all’elenco — una vera scoperta. Il matematico dell’università di Barcellona aveva appena individuato il sistema di proporzioni nascosto della Sagrada Família: un modulo di 7,5 metri e i rapporti fra i divisori di 12. Come scrive nelle sue memorie, citate nell’articolo di Slate.fr ripubblicato da The Conversation, «il modulo di 7,5 metri e i rapporti fra i divisori di 12 (1:4, 1:3, 1:2, 3:4, 2:3, 1) sembravano spiegare una moltitudine di cose».
Il 2026 segna il centenario della morte di Antoni Gaudí. L’occasione ideale per guardare in modo diverso l’edificio più visitato della Spagna — non più come una cattedrale stravagante, ma come un puzzle numerico di cui qualcuno ha finalmente ritrovato le istruzioni.
Perché 12? Perché 12 è generoso
Prima di entrare nei numeri, poniamoci la domanda: perché 12, e non 10 o 8? La risposta è al tempo stesso religiosa e matematica.
Sul piano simbolico, il 12 è ovunque nella Bibbia: dodici figli di Giacobbe, dodici tribù d’Israele, dodici apostoli, una corona di dodici stelle nell’Apocalisse. Gaudí, che concepiva la basilica come una sintesi di architettura e simbolismo religioso, non aveva alcun motivo di cercare altrove. Ma dal punto di vista matematico il 12 è anche una scelta straordinariamente pratica. I suoi divisori sono 1, 2, 3, 4, 6 e 12 — sei divisori per un numero così piccolo sono tanti. Per confronto, 10 ne ha solo quattro (1, 2, 5, 10). Questa ricchezza permette di costruire rapporti semplici: metà, terzi, quarti, due terzi, tre quarti... Per un architetto che vuole che colonne, volte e torri si incastrino visivamente, è un tesoro.
È proprio quanto dimostra lo studio di Alsina Català pubblicato sulla rivista Suma: la basilica può essere riletta come una griglia di rapporti semplici derivati dai divisori di 12, organizzata attorno a un’unità di base di 7,5 metri.
7,5 metri: il mattone invisibile
Prendiamo 7,5 metri. Moltiplichiamo per 12: otteniamo 90 metri, la lunghezza totale della basilica. Moltiplichiamo per 8: 60 metri, la sua larghezza. Per 6: 45 metri, la larghezza della navata principale. Le altezze obbediscono allo stesso principio — la volta dell’abside raggiunge i 75 metri (7,5 × 10), quella del transetto i 60 metri (7,5 × 8), la navata i 45 metri (7,5 × 6), le navate laterali i 30 metri (7,5 × 4), il coro i 15 metri (7,5 × 2).
I moltiplicatori sono esattamente i divisori di 12 e i loro multipli: 2, 4, 6, 8, 10, 12. Nulla è arbitrario.
La torre di Gesù, elemento centrale dell’edificio, raggiunge i 172,5 metri — cioè 7,5 × 23. Secondo la documentazione ufficiale della basilica, questa altezza richiama quella della collina di Montjuïc che domina Barcellona. Il braccio superiore della sua croce — alto 17 metri e largo 13,5 metri — è stato installato il 20 febbraio 2026, secondo Vatican News, giusto in tempo per il centenario. Jordi Faulí, l’architetto capo del cantiere — ed ex dottorando di Alsina Català —, ha dichiarato che questo completamento «rappresenta molto più della conclusione di una fase costruttiva: è il risultato di anni di lavoro e di studio dell’eredità di Gaudí».
Una foresta di colonne tortili, tetti di superfici curve generate da rette
Le proporzioni sono soltanto l’aspetto più superficiale della questione. All’interno, Gaudí ha dispiegato un arsenale geometrico sul quale vale la pena soffermarsi.
Le colonne della navata sono colonne a doppia torsione elicoidale — un nome barbaro per un’idea visiva immediata. Immaginate due colonne salomoniche, quelle colonne a spirale che si trovano nei baldacchini barocchi, che ruotano in versi opposti e poi si fondono. La loro base assume la forma di una stella poligonale dai contorni arrotondati. Salendo, ciascuna colonna si ramifica come un albero e i suoi rami raggiungono le volte e le torri. Il risultato somiglia meno a una cattedrale che a una foresta pietrificata. Come illustrano lavori di modellazione pubblicati in Automation in Construction, questa geometria è generata da due rettangoli controrotanti attorno allo stesso asse — un’operazione che Gaudí eseguiva materialmente, con il gesso, prima dell’avvento dei computer.
Le vetrate delle volte, invece, sono iperboloidi a una falda. Si tratta di una superficie curva — una forma che ricorda una botte strozzata al centro — ma che può essere costruita interamente con rette. Tendete dei fili fra due cerchi ruotati l’uno rispetto all’altro, e otterrete esattamente questa superficie. Il vantaggio pratico è che risulta più semplice da costruire di qualsiasi volta gotica e straordinariamente efficace nel diffondere la luce. Come osserva uno studio di Silvia Benvenuti sulle superfici rigate nell’architettura di Gaudí, queste forme — iperboloidi, paraboloidi iperbolici, elicoidi — costituiscono una firma geometrica che colloca Gaudí fra l’eredità gotica catalana e l’anticipazione di una moderna architettura topologica.
La catena sospesa che diventa arco
Ecco l’idea più bella di tutta l’architettura della Sagrada Família, e la più semplice da comprendere. Appendete una catena fra due punti. Assume una forma naturale, dettata dalla gravità: una curva chiamata catenaria. Ora capovolgete mentalmente quella catena. La curva ottenuta è la forma ideale di un arco portante, perché lavora interamente a compressione — senza alcuna trazione né rischio di crepe. Gaudí lo aveva capito e costruiva modellini di fili e pesi per calcolare graficamente le direzioni delle sue colonne e dei suoi archi.
Come illustra dettagliatamente uno studio pubblicato dall’Institut d’Estudis Catalans, firmato anche da Alsina Català, Jordi Faulí e Josep Gómez, Gaudí aveva persino sperimentato questo metodo alla Colònia Güell prima di applicarlo alla Sagrada Família. Con le sue stesse parole, riportate dall’architetto Cèsar Martinell: «Le funicolari della Sagrada Família le ho trovate graficamente, e quelle della Colònia Güell sperimentalmente; ma i due procedimenti sono la stessa cosa, e l’uno è figlio dell’altro.» Risultato: niente contrafforti massicci, niente archi rampanti. La cattedrale gotica aveva bisogno di sostegni esterni per non crollare. La Sagrada Família si regge da sola.
33, il numero che firma la facciata della Passione
Un ultimo dettaglio, quasi malizioso. Sulla facciata della Passione compare un quadrato magico — una griglia di numeri in cui ogni riga, colonna e diagonale dà la stessa somma. Un quadrato magico classico di 16 caselle che usa gli interi da 1 a 16 ha una costante magica, ossia la somma identica in questione, pari a 34. Quello della Sagrada Família ha una costante di 33 — l’età tradizionale di Cristo durante la Passione. Per ottenerla, lo scultore Josep Maria Subirachs riprese la struttura del celebre quadrato di Albrecht Dürer nella sua incisione Melencolia I (1514), la ruotò di 180° e diminuì di 1 quattro dei suoi numeri. La Royal Institution lo conferma: il quadrato della Sagrada Família non è un quadrato magico «normale» in senso stretto, poiché alcuni interi vi sono ripetuti — ma il vincolo simbolico prevale sulla purezza matematica. Non è un imbroglio: è una scelta.
Ecco ciò che rivela la lettura matematica della Sagrada Família. Non un edificio decorato di simboli religiosi, ma un sistema in cui ogni proporzione, ogni curva e ogni numero rimanda al tempo stesso a una necessità strutturale e a un’intenzione simbolica. I due linguaggi dialogano. Forse è questo il vero genio di Gaudí: aver trovato un vocabolario in cui Dio e la geometria dicono la stessa cosa.
Concetti da portare con sé
Il ruolo effettivo dei divisori di 12 nelle proporzioni
Per capire perché la scelta del numero 12 come base di un sistema modulare sia matematicamente efficace, occorre comprendere che cos’è un sistema di proporzioni architettoniche. L’idea è semplice: si sceglie una lunghezza di base m (qui 7,5 metri), poi si generano tutte le dimensioni importanti dell’edificio mediante espressioni della forma k × m, dove k è un intero o un rapporto semplice. Affinché tali rapporti siano «armoniosi» — cioè visivamente leggibili e comodi da costruire —, le frazioni coinvolte devono essere semplici: 1/2, 1/3, 1/4, 2/3, 3/4.
Ora, queste frazioni sono precisamente i rapporti fra i divisori di 12. I divisori di 12 sono {1, 2, 3, 4, 6, 12}. I rapporti che si possono formare fra loro sono: 1/12, 1/6, 1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 3/4, 1. Limitandosi ai rapporti non superiori a 1 che coinvolgono divisori «piccoli», ritroviamo esattamente l’elenco individuato da Alsina Català: 1:4, 1:3, 1:2, 3:4, 2:3, 1.
Confrontiamo con 10, i cui divisori sono {1, 2, 5, 10}: gli unici rapporti semplici disponibili sono 1/2 e 1/5. Con 1/5 = 0,2 si ottengono lunghezze come 1,5 m o 3 m a partire da un modulo di 7,5 m — poco pratiche per le proporzioni visive. Il numero 12, invece, è ciò che i teorici dei numeri chiamano un numero altamente composto in senso informale: rispetto alla sua grandezza, possiede un numero eccezionale di divisori. Il primo numero ad avere più divisori di 12 è 24, che ne ha 8. Usare 12 come base di un sistema di proporzioni significa massimizzare la ricchezza armonica a costo simbolico nullo — poiché il 12 è già presente nei testi sacri.
In termini di costante magica, ricordiamo infine che per un quadrato magico normale di ordine n che usa gli interi da 1 a n², la costante vale n(n² + 1)/2. Per n = 4: 4 × 17 / 2 = 34. Il quadrato della Sagrada Família infrange questa formula ripetendo alcuni interi e omettendone altri, cosicché la somma di ogni riga rimane 33. Non è un quadrato magico nel senso stretto della teoria combinatoria — ma è un oggetto matematico coerente, costruito mediante una trasformazione esplicita, una rotazione di 180° e la sottrazione di 1 a quattro caselle, a partire dal quadrato di Dürer, come stabilisce l’analisi della Royal Institution.
