En un artículo de la revista The American Mathematical Monthly, disponible en línea, Norman J. Wildberger y Dean Rubine desarrollan una nueva estrategia que permite superar los problemas que plantea el enfoque basado en radicales. La idea básica consiste en utilizar los números de Catalan *Cn, que dan el número de formas de dividir un polígono convexo de n + 2 lados en n* triángulos.
Resulta que la serie
satisface la relación c(x) = 1 + xc(x)2, de grado 2. Para generalizar, se pueden calcular los «hipernúmeros de Catalan»: por ejemplo, C[2,0,1] da el número de descomposiciones de un hexágono en 2 triángulos, 0 cuadriláteros y 1 pentágono, y podréis comprobar que vale 28. Al construir un álgebra de las descomposiciones de polígonos y extraer de ella series, los autores logran proponer fórmulas para resolver ecuaciones polinómicas. Abordan algunos ejemplos históricos, entre ellos ciertas ecuaciones que no son resolubles por radicales. Su método combinatorio abre incluso nuevas perspectivas de investigación, especialmente mediante el estudio de una tabla de números aún misteriosa a la que han bautizado «la geoda». En resumen, olvidad los radicales y sumergíos en las series.
