In un articolo della rivista The American Mathematical Monthly, disponibile online, Norman J. Wildberger e Dean Rubine sviluppano una nuova strategia che permette di superare le difficoltà generate dall’approccio basato sui radicali. L’idea di fondo è utilizzare i numeri di Catalan *Cn che danno il numero di modi per suddividere un poligono convesso con n + 2 lati in n* triangoli.
La serie
soddisfa la relazione c(x) = 1 + xc(x)2, di grado 2. Per generalizzare, si possono calcolare gli «ipernumeri di Catalan»: per esempio C[2,0,1] fornisce il numero di suddivisioni di un esagono in 2 triangoli, 0 quadrilateri e 1 pentagono, e potrete verificare che vale 28. Costruendo un’algebra sulle suddivisioni dei poligoni e ricavandone poi delle serie, gli autori riescono a proporre formule per risolvere le equazioni polinomiali. Trattano alcuni esempi storici, fra cui equazioni che non sono risolvibili per radicali. Il loro metodo combinatorio apre persino nuove prospettive di ricerca, in particolare attraverso lo studio di una tabella di numeri ancora misteriosa, che hanno soprannominato «la geode». Insomma, dimenticate i radicali e tuffatevi nelle serie!
