S’il est désormais reconnu comme l’un des grands initiateurs des mathématiques « sociales » (voir l'article "De l'arithmétique politique à la mathématique sociale"), tout un pan de l’activité scientifique de Condorcet, ayant trait à l’analyse mathématique, est globalement oublié et il est difficile à un mathématicien contemporain de lire ses textes consacrés au calcul intégral. Pourtant, ces travaux l’ont occupé une grande partie de sa vie, et le rôle de l’analyse mathématique dans sa pensée philosophique n’est pas anecdotique.

Un échec fondateur

Les premiers travaux de Condorcet sur l’analyse mathématique remontent à ses dix-huit ans : le jeune Ribemontois, après avoir patiemment préparé un Essai sur une méthode générale pour intégrer les équations différentielles à deux variables, soumet son mémoire à l’Académie des sciences. Il importe de souligner que l’une des missions de cette institution, qui était à peine centenaire, était de susciter des vocations, et de dénicher et d’encourager les jeunes talents. Cette mission était souvent prise au sérieux, ce qui ne supposait pas en revanche de complaisance de la part des rapporteurs auxquels étaient échus les travaux soumis. En l’occurence, pour le travail de Condorcet, ces deux rapporteurs étaient, les académiciens Clairaut (dont certains résultats sur les courbes sont encore enseignés de nos jours) et Fontaine (un spécialiste des fonctions de plusieurs variables). Leur appréciation du travail de Condorcet est très sévère : ils estiment que le mémoire « manque de soin et de clarté », et, surtout, que l’auteur ignore totalement les résultats déjà connus. Son mémoire rejeté, Condorcet retient la leçon : son travail suivant, Du calcul intégral, soumis à l’Académie quatre années plus tard, le démontre. D’une part, d’un point de vue bibliographique : Condorcet multiplie les références aux mémoires de Fontaine, de d’Alembert, d’Euler… D’autre part, dans le choix du sujet : à cette époque, une des équations qui attirait l’attention de nombreux scientifiques était l’équation des ondes, dont la première étude systématique avait été proposée par d’Alembert dans les années 1740 et qu’utilisait le mémoire qui avait valu à ce dernier le prix de l’Académie de Berlin en 1746.
Son nouvel ouvrage, dont les rapporteurs se trouvèrent être justement le grand analyste français de l’époque, d’Alembert, et le célèbre rédacteur de manuels mathématiques, Bézout, fut bien plus favorablement accueilli : « La nature des objets sur lesquels roule cet Ouvrage ne permet guère, dans un extrait, un plus grand développement sur la finesse et sur la profondeur des vues que supposent les méthodes dont l’Auteur fait usage & qui, pour la plupart, lui sont propres. Non seulement cet Ouvrage suppose dans l’Auteur des connaissances de calcul très étendues, & qu’il est rare de trouver à pareil degré dans un âge aussi peu avancé ; mais il annonce encore les plus grands talents, & les plus dignes d’être excités par l’Approbation de l’Académie. Fait à Paris, ce 22 mai 1765. Signé, D’ALEMBERT et BEZOUT. »
On ne peut néanmoins conseiller la lecture de cet ouvrage au lecteur ou à la lectrice moderne : si Condorcet s’emploie à décrire son travail avec précision, nous avons perdu aujourd’hui la signification « d’intégrale finie », ou d’intégration en termes finis, puisqu’il s’agit a priori d’avoir une combinaison de fonctions algébriques, d’exponentielles et de logarithmes ; si les constructions sont astucieuses, elles apparaissent laborieuses à l’oeil exercé aux méthodes de la fin du XVIIIe et, surtout, du XIXe siècle.