Rappelons qu’une série de fonctions est une somme infinie de fonctions, et que cette série est convergente lorsque cette somme infinie prend une valeur finie. Un exemple simple de série de fonctions est l’expression 1 + x + *x 2 + *x 3 + … (somme des puissances entières positives de x), qui converge pour tout x entre -1 et 1 vers la valeur 1/(1–x).
Outre la convergence d’expressions de ce type, la question qui se pose est celle de la régularité de la somme ainsi obtenue. Cauchy estima que, dès lors que les fonctions que l’on somme étaient continues, leur somme (pourvu qu’elle converge) devait l’être aussi.
C’est Abel qui, en 1826, pointera un contre-exemple : la série
sin⁡(x)+sin⁡(2x)2+sin⁡(3x)3+⋯\sin(x)+\frac{\sin(2x)}{2}+\frac{\sin(3x)}{3}+\cdots
converge mais n’est pas continue aux multiples de 2π : 0, 2π, 4π, etc.
En passant, dans le même article, Abel commet à son tour une erreur — mais qui prêtait moins à conséquence.