Recordemos que una serie de funciones es una suma infinita de funciones y que converge cuando esa suma infinita toma un valor finito. Un ejemplo sencillo de serie de funciones es la expresión 1 + x + *x 2 + *x 3 + … (suma de las potencias enteras positivas de x), que converge al valor 1/(1–x) para todo x comprendido entre -1 y 1.
Además de la convergencia de expresiones de este tipo, surge la cuestión de la regularidad de la suma así obtenida. Cauchy consideró que, siempre que las funciones que se sumaban fueran continuas, su suma —si convergía— también debía serlo.
Fue Abel quien, en 1826, señaló un contraejemplo: la serie
converge, pero no es continua en π, 3π, 5π, etc.
De paso, en el mismo artículo, Abel cometió a su vez un error, aunque de consecuencias menores.
