Ricordiamo che una serie di funzioni è una somma infinita di funzioni e che converge quando tale somma assume un valore finito. Un esempio semplice di serie di funzioni è l’espressione 1 + x + *x 2 + *x 3 + … (somma delle potenze intere positive di x), che converge, per ogni x compreso tra -1 e 1, al valore 1/(1–x).
Oltre alla convergenza di espressioni di questo tipo, si pone la questione della regolarità della somma così ottenuta. Cauchy ritenne che, se le funzioni che si sommano sono continue, anche la loro somma, purché converga, debba esserlo.
Nel 1826 Abel indicò un controesempio: la serie
converge ma non è continua in π, 3π, 5π ecc.
Per inciso, nello stesso articolo Abel commise a sua volta un errore — ma dalle conseguenze meno gravi.
