constante de Feigenbaum

Imaginez un réglage que l'on augmente peu à peu. À certaines valeurs, le rythme du système double : un cycle devient deux, puis quatre, puis huit. Les valeurs de réglage qui provoquent ces changements se rapprochent de plus en plus.

La constante de Feigenbaum mesure la régularité de ce resserrement. Le rapport entre deux intervalles successifs tend vers environ 4,669. Ce même nombre réapparaît dans différentes familles de systèmes appartenant à la même classe de transition vers le chaos.

La constante de Feigenbaum, notée δ, vaut approximativement 4,66920160910. Elle intervient dans les systèmes dynamiques non linéaires dont la transition vers le chaos se fait par des dédoublements successifs de période. Mitchell Feigenbaum l'a découverte entre 1975 et 1978. Pour une famille d'applications dépendant d'un paramètre de contrôle, notons λ_n la valeur de ce paramètre au n-ième dédoublement.

Cette limite compare l'intervalle courant au suivant : les bifurcations se concentrent selon un taux asymptotique commun. L'universalité ne signifie pas que toute transition vers le chaos donne ce nombre. Elle vaut pour les familles appartenant à la même classe de comportement chaotique et suivant ce scénario de dédoublements. Les valeurs λ_n dépendent de la famille étudiée ; c'est leur rapport limite qui est universel dans cette classe.

Prenons un jeu illustratif de quatre valeurs successives du paramètre, choisies pour montrer le calcul sans les attribuer à un système particulier : λ₁ = 3,00000 ; λ₂ = 3,40000 ; λ₃ = 3,48567 ; λ₄ = 3,50402. Chaque valeur marque ici un nouveau dédoublement de période.

1. Le premier intervalle vaut 3,40000 − 3,00000 = 0,40000.
2. Le deuxième vaut 3,48567 − 3,40000 = 0,08567.
3. Le troisième vaut 3,50402 − 3,48567 = 0,01835.
4. Les deux quotients successifs valent 0,40000 / 0,08567 ≈ 4,66908 et 0,08567 / 0,01835 ≈ 4,66866.

Les deux résultats sont proches de δ ≈ 4,66920160910, tandis que les intervalles diminuent nettement. Le contrôle consiste à refaire les trois soustractions, puis à diviser chaque intervalle par le suivant. Une suite réelle ne donne en général que des approximations à rang fini ; c'est la limite des quotients qui définit δ.

Dans une famille de systèmes dynamiques, on relève les valeurs du paramètre auxquelles la période double. On compare ensuite les intervalles successifs. Si leurs quotients se rapprochent de 4,669, les observations sont compatibles avec le scénario de Feigenbaum.

Si les changements observés ne sont pas des dédoublements successifs de période, ce quotient n'est pas le bon outil. Il faut alors décrire le type de bifurcation effectivement rencontré au lieu de forcer la comparaison avec δ.

Le calcul sert aussi à comparer des familles différentes. Le critère pertinent n'est pas l'égalité de leurs valeurs de paramètre, mais la convergence de leurs rapports vers la même limite, sous les hypothèses de la même classe chaotique.

Une bifurcation. Une bifurcation est un changement de comportement survenant à une valeur du paramètre. La constante de Feigenbaum est, elle, la limite d'un rapport entre les intervalles séparant plusieurs bifurcations. Une valeur λ_n localise un changement ; δ compare leur resserrement.

Le chaos déterministe. Le chaos qualifie un comportement de système dynamique ; δ est un nombre associé à un scénario particulier de transition vers ce comportement. Observer du chaos ne suffit donc pas : il faut aussi identifier les dédoublements successifs de période.

Une approximation n'est pas la limite. Au rang fini, un quotient peut valoir 4,66866 ou 4,66908 sans être exactement δ. Il faut examiner plusieurs rangs croissants et parler de convergence, non d'égalité obtenue par une seule division.

Les intervalles doivent être consécutifs. Sauter une bifurcation ou inverser l'ordre modifie le quotient. Il faut d'abord ordonner les valeurs λ_n, puis former deux différences adjacentes selon la même convention d'indice.

« Universelle » ne signifie pas sans hypothèse. La valeur commune concerne les familles de la même classe de comportement chaotique qui passent par des dédoublements de période. Si le scénario observé est différent, il faut étudier ses propres bifurcations plutôt que conclure à un échec de δ.

Bifurcation : préciser le changement dont les valeurs de paramètre sont comparées dans le calcul de δ.

système dynamique : replacer les dédoublements de période dans le cadre des évolutions gouvernées par une règle.

Les débuts de la théorie du chaos : situer la constante dans l'histoire plus large de la théorie du chaos.