Division euclidienne
La division euclidienne est l'opération qui, étant donné deux entiers a et b avec b non nul, produit un quotient q et un reste r tels que a = bq + r avec 0 ≤ r < |b|. Cette décomposition est unique. Elle s'étend aux polynômes à coefficients dans un corps : étant donnés deux polynômes A et B avec B non nul, il existe des polynômes uniques Q et R tels que A = BQ + R avec deg(R) < deg(B). La division euclidienne est à la base de l'algorithme d'Euclide et de la théorie de la divisibilité.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier le quotient et le reste dans un partage entier.
- Vérifier une division par recomposition et par la borne du reste.
- Comprendre les restrictions sur le diviseur et le prolongement aux polynômes.
En clair
Imaginez 137 objets à répartir dans des boîtes de 12. On peut remplir 11 boîtes, car 11 × 12 = 132, puis il reste 5 objets. La division euclidienne décrit exactement ce partage : le quotient compte les groupes complets et le reste compte ce qui ne forme pas un groupe supplémentaire.
Le reste doit être positif ou nul et plus petit que la taille d'un groupe. Cette règle garantit qu'il n'existe qu'une seule façon de compter les groupes complets et ce qui reste.
Définition
Pour deux entiers a et b, avec b différent de zéro, la division euclidienne fournit deux entiers : le quotient q et le reste r. Ils vérifient l'identité
Le reste satisfait aussi 0 ≤ r < |b|, où |b| désigne la valeur absolue du diviseur. Ces deux conditions déterminent q et r de manière unique, même lorsque le dividende est négatif. Le diviseur ne peut jamais être nul.
La même idée existe pour deux polynômes A et B à coefficients dans un corps, lorsque B n'est pas nul. Il existe alors des polynômes uniques Q et R tels que A = BQ + R et que le degré de R soit strictement inférieur à celui de B. Dans les entiers comme dans les polynômes, cette décomposition sépare une partie divisible du résidu qui ne peut plus être divisé dans le cadre considéré.
Un exemple, pas à pas
Une bibliothèque reçoit 137 livres et les range par piles de 12 livres. Les données sont les suivantes : dividende 137, diviseur 12, taille d'une pile 12 livres.
On cherche le nombre de piles complètes et le nombre de livres isolés. La relation à établir est
On essaie 11 piles complètes.
11 × 12 = 132 livres sont rangés.
137 − 132 = 5 livres restent.
Le quotient vaut donc q = 11 et le reste vaut r = 5.
11 × 12 = 132 livres sont rangés.
137 − 132 = 5 livres restent.
Le quotient vaut donc q = 11 et le reste vaut r = 5.
Le résultat s'écrit 137 = 12 × 11 + 5. Le contrôle est refaisable : 12 × 11 + 5 donne bien 137, et le reste 5 est compris entre 0 et 12.
En pratique
Pour répartir un nombre entier d'objets en groupes de même taille, on lit le quotient comme le nombre de groupes complets et le reste comme la quantité non groupée. Le contrôle consiste à recomposer le dividende avec le diviseur, le quotient et le reste.
Pour savoir si un entier est divisible par un autre, on observe le reste. Un reste nul signifie que la répartition est exacte ; sinon, le reste mesure la quantité qui reste non groupée, tandis que la quantité manquante pour former un groupe supplémentaire est la taille du groupe moins ce reste.
Pour obtenir une écriture décimale ou une approximation, la division euclidienne n'est pas le bon objectif : on utilise une division avec quotient décimal ou une fraction. Le critère observable est alors la présence de chiffres après la virgule, plutôt qu'un reste entier.
À ne pas confondre
La division euclidienne ne se confond pas avec la division décimale. Dans 137 ÷ 12, la division euclidienne donne le quotient entier 11 et le reste 5, tandis que la division décimale cherche une valeur comme 137/12, qui n'est pas un entier. Le cas qui tranche est donc le reste non nul : il signale que le partage en groupes complets n'est pas exact.
Elle ne se confond pas non plus avec la soustraction répétée. Soustraire 12 jusqu'à obtenir 5 permet de retrouver 11 soustractions, mais la division euclidienne organise directement ce résultat en quotient et en reste, avec une identité vérifiable.
Limites et pièges
Le diviseur nul est un cas bloquant. L'écriture a = 0q + r ne permet pas de respecter la contrainte usuelle du reste, car |0| vaut 0 et aucun entier r ne peut vérifier simultanément 0 ≤ r < 0. Il faut donc refuser la division par zéro.
Le reste ne peut pas atteindre le diviseur en valeur absolue. Avec 137 et 12, un reste 12 serait un symptôme observable d'un quotient trop petit : 12 livres formeraient une pile supplémentaire. Il faut augmenter le quotient jusqu'à obtenir 0 ≤ r < 12.
Pour un diviseur négatif, la borne porte sur sa valeur absolue, pas sur son signe. Avec b = −12, le reste doit encore vérifier 0 ≤ r < 12 ; changer le signe du diviseur ne justifie donc pas un reste négatif dans la convention de la source.
Dans la version polynomiale, le degré remplace la comparaison des entiers : le reste R doit avoir un degré strictement inférieur à celui de B. Le cas R = 0 est admis ; par convention, son degré est traité séparément pour conserver cette formulation.
Pour aller plus loin
La division euclidienne devient un outil de calcul du PGCD lorsqu'on remplace successivement un couple d'entiers par le diviseur et le reste. L'algorithme d'Euclide permet ainsi de poursuivre la même logique de décomposition jusqu'à un reste nul.
Pour replacer cette méthode dans son histoire et comprendre le lien entre Euclide et les raisonnements de divisibilité, l'article Euclide, général de division apporte un prolongement narratif.
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