Les systèmes dynamiques sont, en mathématiques, un domaine réputé difficile auquel Henri Poincaré (1854–1912) a largement contribué (voir Tangente SUP 67-68, 2013). On y trouve pourtant un fer à cheval, « dompté » par Stephen Smale sur les plages brésiliennes de Copacabana, à Rio de Janeiro (voir Tangente 128, 2009). Cet objet consiste en une succession d’opérations géométriques très simples (la transformation du boulanger) appliquées à une surface : rétrécissement dans une dimension, étalement dans une autre, et repliement en forme de… fer à cheval.
Dans l’esprit de ce fer à cheval, qui donne lieu à des comportements « chaotiques », le flot d’Anosov résulte de la dilatation d’une surface dans une direction, de la contraction selon d’autres, et de la répétition de ces opérations. Le mathématicien Dmitri Viktorovitch Anosov (1936–2014) a beaucoup étudié cet objet.
L’image de l’artiste Jos Leys (www.josleys.com) qui figure en couverture représente une surface (en vert) et l’orbite instable associée à un flot d’Anosov défini sur cette surface. Une trajectoire mathématique abstraite, en somme !
