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La figlia di Éric Trouillot, inventore del celebre gioco Mathador e grande amico della redazione, si è distinta!
Un’annata a tutto tondo
Nel 2022, la cifra 2 sarà sotto i riflettori, è certo.
Ma anche 2 + 0 + 2 + 2 = 6 (ossia 3×2 = 6), ci dice il matemagico Dominique Souder. Nella figura che ha realizzato, i dodici valori scritti alle intersezioni sono i termini di una successione aritmetica di ragione 2, a partire da 326.
Su ciascuno dei cerchi disposti nelle quattro direzioni, sommiamo i sei valori incontrati… e che cosa troviamo?
Con numeri interi consecutivi
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Nella rubrica «Affaire de Logique» del quotidiano Le Monde, gli autori Élisabeth Busser, Gilles Cohen e Jean-Louis Legrand non sono venuti meno alla tradizione, proponendo per esempio di scrivere 2022 come somma di numeri interi consecutivi:
2 022 = 673 + 674 + 675, oppure 2 022 = 504 + 505 + 506 + 507, o ancora 2 022 = 163 + 164 + … + 173 + 174.
Per trovare somme di questo tipo, osserviamo che la somma degli interi da A a B è uguale alla somma degli interi da 1 a B meno quella degli interi da 1 ad A – 1. Da qui si ottiene }{2},) un’uguaglianza che conduce a 4 044 = (B+A)(B–A+1). Scriviamo allora 4 044 come prodotto di due interi; gli unici prodotti adatti sono 3×1 348, 4×1 011 oppure 12×337.
Ne deduciamo, per esempio, che 2 022 = 3×(1 348/2), ossia 3×674, cioè ancora 673 + 674 + 675.
Questa volta, usando cifre consecutive, si può anche scrivere 2 022 provando a usare il minor numero possibile di cifre (escludendo dunque lo 0 iniziale). Senza usare altri segni oltre a + o –, troviamo 2 022 = 1 234 + 5 – 6 +789. Con tutti i segni operatori tranne il fattoriale, e usando via via più cifre, si può proporre:
2 022 = (1–2+3)×(45–6–7), oppure (1+2)(3+4) – (5+6)×(7+8), oppure ancora 1 + 2 + 3 + (4×(56+7)×8), o infine, con le nove cifre, (1 + 2 + 3)×((4 – 5 + 6×7)×8 + 9).
Con tutti i segni, compreso il fattoriale, François Lavallou e Alain Zalmanski, entrambi campioni in questo campo, hanno trovato:
2 022 = –1 + 2 + (3!)4 + 5 + 6!,
oppure ancora (1 + 2)!!×3 – 4! – 5! + 6,
o infine 1 + 2 + 3 – 4!×(5!+6) + 7!.
Infine, restando nell’aritmetica, il mentalista Benoît Rosemont ha realizzato il seguente quadrato magico, le cui innumerevoli proprietà non vi sfuggiranno (quelle relative al quadrato magico del 2021 sono state analizzate a fondo da René Descombes, si veda Tangente 202, pagina 2; non esitate a trarne ispirazione!).
Ancora più insolito
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La nuova annata, prodotto di 2, 3 e 337, possiede molte altre proprietà, che i nostri colleghi e amici non hanno mancato di notare. È stato osservato, per esempio, che il quadrato del «rovescio» di 2 022 è anch’esso il «rovescio» del suo quadrato (in altre parole, 2 0222, ossia 4 088 484, è il «rovescio» di 2 2022, il cui quadrato vale 4 848 804). Ma questo valeva anche per 2 021… e non varrà più per 2 023.
2 022 non è certo palindromo… nel nostro sistema decimale. Lo è però in base 18 (dove si scrive 646) e in base 43 (dove diventa 141), ci dice ancora Alain Zalmanski, grande appassionato di palindromi.
Per concludere in bellezza, Michel Criton ci rivela persino che 2 022 è il primo elemento di una successione di quattro numeri di Harshad consecutivi (numeri divisibili per la somma delle loro cifre).
Infatti, 2 022 = (2 + 2 + 2)×337, 2 023 = (2 + 2 + 3)×289, 2 024 = (2 + 2 + 4)×253, 2 025 = (2 + 2 + 5)×225. Bello!
