2022 por todos sus lados

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¡La hija de Éric Trouillot, inventor del exitoso juego Mathador y gran amigo de la redacción, ha destacado!

Un año redondo ----------------------------

En 2022, la cifra 2 será protagonista, sin duda.

Pero 2 + 0 + 2 + 2 = 6 (es decir, 3×2 = 6) también, nos dice el matemago Dominique Souder. En la figura que ha elaborado, los doce valores inscritos en las intersecciones son los términos de una sucesión aritmética de razón 2 que comienza en 326.

En cada uno de los círculos situados en las cuatro direcciones, sumemos los seis valores que aparecen… ¿y qué obtenemos?

Con números enteros consecutivos ----------------------------

En la sección «Affaire de Logique» del diario Le Monde, sus autores, Élisabeth Busser, Gilles Cohen y Jean-Louis Legrand, no han faltado a la tradición y han propuesto, por ejemplo, escribir 2022 como suma de números enteros consecutivos:

2 022 = 673 + 674 + 675, o 2 022 = 504 + 505 + 506 + 507, o también 2 022 = 163 + 164 + … + 173 + 174.

Para hallar tales sumas, se observa que la suma de los enteros comprendidos entre A y B es igual a la suma de los enteros de 1 a B menos la suma de los enteros de 1 a A – 1. Aquí se obtiene la igualdad }{2},), de la que resulta 4 044 = (B+A)(B–A+1). Entonces se escribe 4 044 como producto de dos números enteros; los únicos pares de factores adecuados son 3×1 348, 4×1 011 o 12×337.

De ello se deduce, por ejemplo, que 2 022 = 3×(1 348/2), es decir, 3×674, o también 673 + 674 + 675.

Esta vez con cifras consecutivas, también se puede escribir 2 022 intentando usar el menor número posible de cifras (y excluyendo, por tanto, el 0 inicial). Sin utilizar otros signos que + o –, obtenemos 2 022 = 1 234 + 5 – 6 +789. Con todos los signos de operación, salvo el factorial, y usando cada vez más cifras, se pueden obtener:

2 022 = (1–2+3)×(4⁵–6–7), o (1+2)⁽³⁺⁴⁾ – (5+6)×(7+8), o también 1 + 2 + 3 + (4×(56+7)×8), o, por último, con las nueve cifras, (1 + 2 + 3)×((4 – 5 + 6×7)×8 + 9).

Con todos los signos, incluida la factorial, François Lavallou y Alain Zalmanski, ambos campeones en este ámbito, han hallado:

2 022 = –1 + 2 + (3!)⁴ + 5 + 6!,

o también (1 + 2)!!×3 – 4! – 5! + 6,

o, por último, 1 + 2 + 3 – 4!×(5!+6) + 7!.

Por último, sin salir de la aritmética, el mentalista Benoît Rosemont ha elaborado el siguiente cuadrado mágico, cuyas innumerables propiedades no se os escaparán (las relativas al cuadrado mágico de 2021 fueron analizadas por René Descombes; véase Tangente 202, página 2; ¡no dudéis en inspiraros en ellas!).

Aún más insólito --------------------

El nuevo año, producto de 2, 3 y 337, posee además múltiples propiedades que no han pasado desapercibidas para nuestros colegas y amigos. Se ha señalado, por ejemplo, que el cuadrado del número resultante de invertir las cifras de 2 022 también es el número resultante de invertir las cifras de su cuadrado (es decir, 2 022², o sea, 4 088 484, es el número que se obtiene al invertir las cifras de 2 202², cuyo cuadrado da 4 848 804). Pero también ocurría con 2 021… y ya no será así con 2 023.

2 022 no es, desde luego, un palíndromo… en nuestro sistema decimal. Pero sí lo es en base 18 (donde se escribe 646) y en base 43 (donde se convierte en 141), nos dice también Alain Zalmanski, gran aficionado a los palíndromos.

Para terminar por todo lo alto, Michel Criton nos revela incluso que 2 022 es el primer elemento de una sucesión de cuatro números de Harshad (números divisibles por la suma de sus cifras) consecutivos. En efecto, 2 022 = (2 + 2 + 2)×337, 2 023 = (2 + 2 + 3)×289, 2 024 = (2 + 2 + 4)×253, 2 025 = (2 + 2 + 5)×225. ¡Qué bonito!