La carica elettrica puntiforme

Il campo elettrico E a una distanza r dall’elettrone è pari a $e\mathrm{/}4\pi {ϵ}_0{r}^2,e/4\backslash pi\backslash epsilon\_0r^2,$ un campo che è infinito quando r è zero. È un problema. La difficoltà era già presente nell’equazione di Laplace, che determina il potenziale elettrico $\mathrm{\Delta }\text{V}=0\backslash Delta\; \backslash text\{V\}\; =\; 0$, dove $\mathrm{\Delta }\text{V}={\displaystyle \frac{{\mathrm{\partial }}^2\text{V}}{\mathrm{\partial }{x}^2}}+{\displaystyle \frac{{\mathrm{\partial }}^2\text{V}}{\mathrm{\partial }{y}^2}}+{\displaystyle \frac{{\mathrm{\partial }}^2\text{V}}{\mathrm{\partial }{z}^2}}\backslash Delta\; \backslash text\{V\}\; =\; \backslash dfrac\{\backslash partial\; ^2\; \backslash text\{V\}\}\; \{\backslash partial\; x^2\}\; +\; \backslash dfrac\{\backslash partial\; ^2\; \backslash text\{V\}\}\; \{\backslash partial\; y^2\}\; +\; \backslash dfrac\{\backslash partial\; ^2\; \backslash text\{V\}\}\; \{\backslash partial\; z^2\}$

indica il laplaciano. Il problema fu risolto dalla teoria delle distribuzioni, assimilando il punto carico alla «funzione» δ di Dirac: $\mathrm{\Delta }\text{V}=e\delta (r)\mathrm{/}4\pi {\epsilon }_0\mathrm{.}\backslash Delta\; \backslash text\{V\}\; =\; e\; \backslash delta\; (r)\; /\; 4\backslash pi\; \backslash varepsilon\; \_0.$

Una difficoltà dello stesso ordine si presentò con l’invenzione dello spin, quando si cercò di spiegare la struttura fine delle righe spettrali dell’idrogeno e il risultato dell’esperimento di Stern–Gerlach, nel quale un fascio di elettroni viene separato in due parti in un campo magnetico non omogeneo. George Eugene Uhlenbeck e Samuel Abraham Goudsmit proposero, nel 1925, di attribuire all’elettrone un momento magnetico di valore 1/2, valore che spiegava le osservazioni. Quando Uhlenbeck propose questo modello dell’elettrone al suo mentore, il fisico Paul Ehrenfest, questi vi scorse un’impossibilità. Nell’epoca prequantistica si attribuiva all’elettrone un raggio uguagliando la sua energia elettrostatica alla sua energia a riposo (tramite E = mc ² ): r = e ²/(4πε₀ mc ² ). L’elettrone doveva ruotare su se stesso affinché la sua carica generasse un campo magnetico. Ehrenfest calcolò che alcune parti in rotazione dell’elettrone superavano la velocità della luce! Quindi non si sapeva come una carica elettrica puntiforme in rotazione generasse un campo magnetico e, quando le si attribuiva un raggio, il problema persisteva. Per fortuna, Ehrenfest sostenne che Uhlenbeck era abbastanza giovane da commettere un errore e lo incoraggiò a pubblicare la sua ipotesi; la meccanica quantistica gli diede ragione. Così Uhlenbeck inventò lo spin dell’elettrone.