La carga eléctrica puntual

El campo eléctrico E a una distancia r del electrón es igual a $e\mathrm{/}4\pi {ϵ}_0{r}^2,e/4\backslash pi\backslash epsilon\_0r^2,$ un campo que es infinito cuando r es cero. Esto plantea un problema. La dificultad ya aparecía en la ecuación de Laplace, que determina el potencial eléctrico $\mathrm{\Delta }\text{V}=0\backslash Delta\; \backslash text\{V\}\; =\; 0$, donde $\mathrm{\Delta }\text{V}={\displaystyle \frac{{\mathrm{\partial }}^2\text{V}}{\mathrm{\partial }{x}^2}}+{\displaystyle \frac{{\mathrm{\partial }}^2\text{V}}{\mathrm{\partial }{y}^2}}+{\displaystyle \frac{{\mathrm{\partial }}^2\text{V}}{\mathrm{\partial }{z}^2}}\backslash Delta\; \backslash text\{V\}\; =\; \backslash dfrac\{\backslash partial\; ^2\; \backslash text\{V\}\}\; \{\backslash partial\; x^2\}\; +\; \backslash dfrac\{\backslash partial\; ^2\; \backslash text\{V\}\}\; \{\backslash partial\; y^2\}\; +\; \backslash dfrac\{\backslash partial\; ^2\; \backslash text\{V\}\}\; \{\backslash partial\; z^2\}$

designa el laplaciano. El problema quedó resuelto mediante la teoría de las distribuciones, al considerar la carga puntual como la «función» δ de Dirac: $\mathrm{\Delta }\text{V}=e\delta (r)\mathrm{/}4\pi {\epsilon }_0\mathrm{.}\backslash Delta\; \backslash text\{V\}\; =\; e\; \backslash delta\; (r)\; /\; 4\backslash pi\; \backslash varepsilon\; \_0.$

Una dificultad similar surgió con la invención del espín: explicar la estructura fina de las líneas espectrales del hidrógeno y el resultado del experimento de Stern–Gerlach, en el que un haz de electrones se separa en dos partes en un campo magnético no homogéneo. George Eugene Uhlenbeck y Samuel Abraham Goudsmit propusieron, en 1925, dotar al electrón de un momento magnético de valor 1/2, valor que explicaba las observaciones. Cuando Uhlenbeck propuso este modelo del electrón a su mentor, el físico Paul Ehrenfest, este detectó una imposibilidad. En la época precuántica, se asignaba un radio al electrón igualando su energía electrostática a su energía en reposo (mediante E = mc ² ): r = e ²/(4πε₀ mc ² ). El electrón debía girar sobre sí mismo para que su carga engendrara un campo magnético. Ehrenfest calculó que algunas partes del electrón que giraban superaban la velocidad de la luz. Así pues, no se sabía cómo una carga eléctrica puntual en rotación engendraba un campo magnético y, al asignarle un radio, el problema persistía. Por suerte, Ehrenfest sostuvo que Uhlenbeck era lo bastante joven para cometer un error y lo animó a publicar su hipótesis; la mecánica cuántica le dio la razón. Así, Uhlenbeck inventó el espín del electrón.