Il museo del Conservatoire national des arts et métiers (Cnam) custodisce un patrimonio di invenzioni, una più spettacolare dell’altra. Ma prima di diventare un museo, il CNAM, fondato nel 1794 dall’abate Henri Grégoire, era un luogo d’insegnamento e di dimostrazioni rese possibili da macchine portate alla «ragione» degli studenti. Fin dai suoi primi passi, matematica e meccanismi furono presenti in questa istituzione. Alexandre-Théophile Vandermonde (1735-1796) contribuì alla sua creazione, mentre Charles Dupin (1784-1873) vi istituì la prima cattedra di meccanica applicata alle arti.
Combinare il movimento
La parola «meccanica» entrò nel vocabolario matematico nel 16º secolo; in seguito comparve il suo derivato «meccanismo». Quest’ultimo recupera naturalmente l’etimologia originaria di «meccanica», che designava una macchina, poiché un meccanismo è comunemente percepito come un dispositivo che consente di combinare il movimento, anche quando il movimento non ne è l’oggetto. Una serratura, per esempio, è un meccanismo che permette di chiudere a chiave una porta. È soprattutto questa proprietà della serratura che ricordiamo, ma ciò che ne caratterizza la struttura è un meccanismo che trasmette il movimento della mano al chiavistello. Dalle collezioni di Meccanica a quelle dei Trasporti, passando per le Comunicazioni, il visitatore del Musée des arts et métiers incontra continuamente meccanismi.
Un apparecchio che trasmette informazioni grazie a una corrente elettrica è, nello spirito della semantica del 16º secolo, un meccanismo. Naturalmente, oggi il senso comune non lo intende in genere così. Eppure il movimento degli elettroni è proprio al cuore della corrente elettrica. La parola «corrente» fa inevitabilmente pensare al ruscello, al fiume, all’onda di La Fontaine. Tutte queste accezioni corrispondono a leggi o a rappresentazioni della nozione di movimento. Il meccanismo della serratura rientra nella meccanica dei solidi e riguarda sia la dinamica, poiché, ruotando la mano, si trasmette un movimento, sia, una volta inserito il chiavistello, lo studio della statica delle forze e della resistenza dei materiali, che garantiscono che la porta chiusa a chiave resista a un piede di porco malevolo… fino alla rottura.
I meccanismi che utilizzano fluidi mostrano bene quanto sia complessa la loro rappresentazione e non si riducono alla sola meccanica dei fluidi. Per esempio, l’osservazione del vascello di primo rango Le Roi de Rome mette bene in evidenza questa pluralità. È l’interazione fra qualcosa che assomiglia a un fluido in movimento, il vento, e strutture quali le vele a far muovere la nave; ma è lo scafo della nave, insieme al timone, che, interagendo con l’acqua attraverso la propria geometria, compresa quella delle masse, la dirige o ne facilita il movimento. Quid della matematica nel movimento? Il principio fondamentale della dinamica, che combina forze, momenti e derivate seconde, consente di ricavare, mediante stime a priori, proprietà del movimento; in alcuni rari casi emblematici è possibile una risoluzione esatta, ma ciò riveste spesso interesse solo didattico.
La matematica nel museo
Torniamo all’osservazione più elementare del movimento: è una variazione della posizione di un oggetto. Quando si studia la variazione della posizione rispetto al tempo, si parla di velocità; dapprima media, poi, poiché la nozione e il modello si rivelano insufficienti, di velocità istantanea. Naturalmente, la velocità, derivata della posizione rispetto al tempo, esiste oppure no. Il modello matematico più celebre del movimento di un granello di polline sulla superficie dell’acqua è il moto browniano, per il quale la velocità istantanea non ha senso. Forse è un limite del modello, perché le particelle di polline si muovono eccome, ma a scatti, fra un urto e l’altro… Il modello è però abbastanza ricco da introdurre la nozione di calore, che si diffonde e può essere visto come una grandezza macroscopica che caratterizza gli urti tra particelle microscopiche. Le macchine a vapore del museo sono begli esempi di realizzazioni che sfruttano il calore. Quando funzionano il motore del carro di Cugnot o uno dei motori Diesel nella cappella del museo, si sfruttano proprio proprietà termodinamiche, dunque intimamente legate a questi urti tra particelle. Nel primo caso, il calore provoca un cambiamento di stato dell’acqua e il vapore, considerato allora un gas, con la sua pressione muove due pistoni: un meccanismo! Nel motore Diesel, invece, la combustione del «gasolio», che si accende per compressione del pistone e aumento della temperatura, produce anche fumi, non vapore, che con la loro pressione spingono il pistone verso il basso: ancora un meccanismo…
Insomma, modellizzazione, matematica, movimento e dunque tecnologia e meccanismo sono intimamente legati.
Il Musée des arts et métiers è un vero catalogo di originali illustrazioni matematiche. Si possono trascorrere ore a seguire una caccia al tesoro, chiedendosi dove si nasconda la matematica in ogni oggetto. Il movimento prodotto dai meccanismi vi è onnipresente. Abbiamo visto che vi si cela il moto browniano. Sì, ma non solo. Cercando bene, vi si possono trovare la geometria di Darboux (vedi anche a pagina 42), la stabilizzazione dei sistemi dinamici, anch’essa tramite un meccanismo, l’elaborazione delle immagini, l’ottimizzazione di forma, l’elaborazione del segnale… Sono presenti il regolo calcolatore, e dunque il logaritmo, oppure la pascalina e l’incredibile macchina per moltiplicare di Léon Bollée. Curiosamente, è grazie ai meccanismi d’ingranamento (vedi nelle pagine seguenti) che queste ultime due macchine forniscono il risultato di un calcolo. Questi movimenti non possono essere eseguiti in modo impreciso. Gli scatti della pascalina ne hanno reso difficile l’uso. Questa sapiente trasmissione mediante ostacolo non si improvvisa e, perché sia ottimale e più precisa possibile, le ruote dentate hanno una forma del tutto particolare, caratterizzata matematicamente dalla geometria differenziale…
