El museo del Conservatoire national des arts et métiers (Cnam) conserva un patrimonio de inventos, cada cual más espectacular. Pero, antes de convertirse en museo, el CNAM, fundado en 1794 por el abad Henri Grégoire, era un centro de enseñanza y demostraciones, con máquinas que se empleaban para instruir a los alumnos. Desde sus inicios, las matemáticas y los mecanismos estuvieron presentes en esta institución. Alexandre-Théophile Vandermonde (1735-1796) contribuyó a su creación y Charles Dupin (1784-1873) creó allí la primera cátedra de mecánica aplicada a las artes.
Combinar el movimiento
La palabra «mecánica» se incorporó al vocabulario matemático en el siglo 16.º y, posteriormente, apareció su derivado «mecanismo». Este recupera de forma natural la etimología original de «mecánica», que designa una máquina, pues un mecanismo se percibe comúnmente como un dispositivo que permite combinar el movimiento, aunque el movimiento no sea el objeto de dicho mecanismo. Una cerradura, por ejemplo, es un mecanismo que permite bloquear una puerta. Esta es la propiedad de la cerradura que solemos retener, pero lo que caracteriza su construcción es un mecanismo que transmite el movimiento de la mano al pestillo. Desde las colecciones de Mecánica hasta las de Transportes, pasando por las de Comunicaciones, el visitante del Museo de Artes y Oficios se topa continuamente con mecanismos.
Un aparato que transmite información gracias a una corriente eléctrica es, en el sentido semántico del siglo 16.º, un mecanismo. Naturalmente, hoy no suele entenderse así en el sentido común. Y, sin embargo, el movimiento de los electrones está en el corazón mismo de la corriente eléctrica. La palabra «corriente» evoca inevitablemente el río, el caudal, la onda de La Fontaine. Todas estas acepciones son otras tantas leyes o cartografías de la noción de movimiento. El mecanismo de la cerradura se relaciona tanto con la mecánica de sólidos y la dinámica —pues, al girar la mano, el esfuerzo transmite un movimiento— como con la estática de las fuerzas y la resistencia de materiales: una vez colocado el pestillo, estas garantizan que la puerta bloqueada resistirá una palanca manejada con malas intenciones… hasta romperse.
Los mecanismos que emplean fluidos ejemplifican la complejidad de su representación y no dependen únicamente de comprender la mecánica de fluidos que interviene en ellos. Por ejemplo, la observación del navío de primera categoría Le Roi de Rome pone claramente de relieve esta pluralidad. La interacción entre algo semejante a un fluido en movimiento —el viento— y las estructuras que constituyen las velas es lo que mueve el buque; pero son el casco del navío —y el timón—, mediante su interacción con el agua y su geometría, incluida la geometría de sus masas, los que lo dirigen o facilitan su movimiento. Quid de las matemáticas en el movimiento? El principio fundamental de la dinámica, que combina fuerzas, momentos y derivadas segundas, permite establecer, mediante estimaciones a priori, propiedades del movimiento; en algunos casos emblemáticos y poco frecuentes es posible una resolución exacta, aunque esto solo suele tener interés pedagógico.
Matemáticas en el museo
Volvamos a la observación primitiva del movimiento: es una variación de la posición de un objeto. Cuando estudiamos la variación de la posición respecto del tiempo, hablamos de velocidad; primero, de velocidad media; después, la insuficiencia de la noción y del modelo lleva a hablar de velocidad instantánea. Evidentemente, la velocidad, derivada de la posición respecto del tiempo, existe o no existe. El modelo matemático más célebre del movimiento de un grano de polen sobre la superficie del agua es el movimiento browniano, para el cual la velocidad instantánea no tiene sentido. Quizá sea una limitación del modelo, pues las partículas de polen sí se mueven, aunque su movimiento esté interrumpido por choques… Sin embargo, este modelo es lo bastante rico como para introducir la noción de calor, que se difunde y que puede verse como una magnitud macroscópica que caracteriza los choques de partículas microscópicas. Las máquinas de vapor del museo son buenos ejemplos de aplicaciones que aprovechan el calor. Cuando funcionan el motor del fardier de Cugnot o uno de los motores diésel de la capilla del museo, se explotan precisamente propiedades termodinámicas íntimamente ligadas a esos choques de partículas. En el primero, el calor provoca un cambio de fase del agua y el vapor, que entonces se considera un gas, mueve por su presión dos pistones —¡un mecanismo!—. En cambio, en el motor diésel, la combustión del «gasóleo», que se inflama por la compresión del pistón y el aumento de su temperatura, también desprende humos —no vapor—, que empujan el pistón hacia abajo por efecto de la presión —otro mecanismo…—.
En resumen, la modelización, las matemáticas, el movimiento y, por tanto, la tecnología y los mecanismos están íntimamente ligados.
El Museo de Artes y Oficios es un verdadero catálogo de ilustraciones matemáticas originales. Se pueden pasar allí horas, en una búsqueda del tesoro, preguntándose dónde se esconden las matemáticas en cada objeto. El movimiento mediante mecanismos está muy presente. Hemos visto que allí se oculta el movimiento browniano. Sí, pero no solo eso. Si se busca bien, se pueden encontrar la geometría de Darboux (véase también la página 42), la estabilización de sistemas dinámicos —también mediante un mecanismo—, el tratamiento de imágenes, la optimización de formas, el tratamiento de señales… Allí están la regla de cálculo y, por tanto, el logaritmo, así como la pascalina y la increíble máquina de multiplicar de Léon Bollée. Curiosamente, estas dos últimas máquinas nos dan el resultado de un cálculo gracias a los engranajes —véanse las páginas siguientes—. Estos movimientos no pueden ser imprecisos al ejecutarse. Los tirones de la pascalina complicaron su uso. Este ingenioso accionamiento por tope no se improvisa y, para que sea óptimo y lo más preciso posible, las ruedas dentadas tienen una forma muy particular, caracterizada matemáticamente por la geometría diferencial…
