Yvonne Choquet-Bruhat e la relatività | Tangente

I lavori di Yvonne Choquet-Bruhat si collocano nell’ambito della matematica della relatività generale. Per comprenderli e scoprire chi fosse questa matematica di altissimo livello, prima donna a entrare nell’Académie des sciences nel 1979, Tangente ha contattato uno dei suoi ex colleghi, Piotr Chruściel, professore di fisica gravitazionale all’Università di Vienna.

Piotr Chruściel: Ci siamo incontrati per la prima volta nel 1983, quando ero ancora dottorando. Partecipavo alla Scuola di fisica di Les Houches\*, dove Yvonne teneva una serie di lezioni [allora aveva 60 anni, ndr]. C’era anche Stephen Hawking, che già quasi non riusciva più a parlare in modo comprensibile: uno dei suoi dottorandi ripeteva ad alta voce ciò che Hawking esprimeva (all’epoca non disponeva ancora di un sintetizzatore vocale). In seguito ci siamo incrociati alcune volte. Ma fu nel 2006, quando avevo un dottorando che lavorava sulle equazioni di Einstein, che passammo più tempo insieme, all’Istituto Max Planck di Potsdam. Discutevamo dei risultati ottenuti da lei, dal mio studente e da me, e da ciò nacque il nostro primo lavoro comune. Tuttavia, dovemmo aspettare il 2008 per iniziare davvero a lavorare con lei.

(\* Fondata nel 1951 dalla fisica Cécile DeWitt-Morette nella località di Les Houches, in Alta Savoia, la Scuola di fisica di Les Houches propone corsi e laboratori di alto livello e accoglie ricercatori da tutto il mondo. Vi sono passati numerosi vincitori del premio Nobel.)

All’Istituto Mittag-Leffler, nella periferia di Stoccolma, dirigevo insieme ad altri un programma di ricerca intitolato «Geometria, analisi e relatività generale». Naturalmente la invitai a parteciparvi, e lei accettò nonostante l’età già avanzata (85 anni!). Per inciso, l’istituto era in origine la residenza del matematico svedese Gösta Mittag-Leffler, che la lasciò poi in eredità affinché diventasse un centro di ricerca in matematica. È una splendida casa che domina uno dei tanti laghi dell’arcipelago di Stoccolma e, dato che ero uno degli organizzatori, disponevo di un bellissimo studio; quando arrivò Yvonne, non potevo assegnarle uno studio meno bello del mio, così glielo cedetti e andai a lavorare in uno più piccolo. Mi sembrava inconcepibile non accoglierla come si doveva.

Albert Einstein formulò delle equazioni, ma il problema è individuare le loro soluzioni. Nel 1952 Yvonne compì l’immenso e pionieristico lavoro di mostrare come parametrizzare tali soluzioni e studiarne le proprietà matematiche (vedi riquadro). Non si tratta di metodi di approssimazione, di troncamento o di ipotesi semplificatrici, bensì di un lavoro rigorosamente matematico. Preciso che, nel campo della fisica, quanto è stato fatto in precedenza è assai meritorio, così come lo è ciò che è stato fatto in seguito. Ma, diversamente da quanto Yvonne dimostrò, non si tratta di metodi esatti. Del resto, non mise a punto un elenco di soluzioni, ma piuttosto uno strumento per descriverle. Ciò permette di costruire in modo esatto spazi-tempo e quindi di comprendere la struttura matematica delle equazioni di Einstein, il quale non aveva la pretesa di fare matematica, ma fisica. In sostanza, il suo risultato più importante, al centro della comprensione matematica delle equazioni di Einstein, si può riassumere così: per ogni dato iniziale delle equazioni di Einstein, esiste un unico spazio-tempo massimale (in geometria differenziale, la massimalità significa pressappoco che l’oggetto non può essere ulteriormente prolungato) nella classe degli spazi-tempo con buone proprietà causali (queste «buone proprietà causali» sono legate, per esempio, al fatto che negli spazi-tempo costruiti da Yvonne non è consentito viaggiare nel tempo).

Yvonne mi raccontò effettivamente di essersi molto emozionata nell’incontrare Einstein, che fu molto gentile con lei. Tuttavia, l’idea generale emersa dalla loro conversazione sul suo teorema del 1952 può riassumersi grossomodo così: «Va molto bene, ma nulla di più». Questo perché l’aspetto puramente matematico studiato da Yvonne non era affatto una preoccupazione di Einstein. Lui elaborava modelli fisici: si prendono delle equazioni, poi soluzioni esatte in casi semplificati, infine si estrapola. Lei, al contrario, svolse un lavoro puramente matematico con l’idea di identificare le proprietà di tutte le soluzioni.

Fondamentale! Mi piace dire che Yvonne è la madre della matematica della relatività. Le equazioni di Einstein sono qualcosa di piuttosto complesso, che i fisici hanno analizzato in modo molto interessante; ma, dal punto di vista matematico, il suo articolo è davvero il primo ad aprire la teoria: mostra che tutte le soluzioni delle equazioni di Einstein possono essere costruite a partire da dati iniziali, cosa che non si sapeva. Detto questo, bisogna riconoscere che ci volle tempo perché il teorema fosse apprezzato: all’epoca interessarsi alla matematica della relatività generale era un’attività di nicchia. Oggi, invece, è diventata una rispettabile branca della matematica. Probabilmente grazie a tre grandi risultati: il teorema di Yvonne del 1952, il teorema di Yvonne e Robert Geroch del 1970, secondo cui il dominio di dipendenza determina l’evoluzione di uno spazio-tempo, e il teorema di Richard Schoen e Shing-Tung Yau del 1979, secondo cui la massa di uno spazio-tempo asintoticamente piatto è positiva.

Si svolse in agosto, a Cargèse in Corsica. Dagli anni Sessanta esiste un Istituto di studi scientifici di Cargèse, collegato all’Università della Corsica. Per celebrare Yvonne si riunirono nomi di primo piano: Robert Geroch, Jean-Pierre Bourguignon, Jim Isenberg, Vincent Moncrief, Robert Bartnik, Sergiu Klainerman… Guardando l’elenco degli allievi di questa scuola estiva, è un piacere vedere che molti di loro sono diventati importanti ricercatori nel nostro campo.

Si trattava del nostro secondo articolo in comune. Cominciammo a collaborare all’Istituto Mittag-Leffler sulle soluzioni delle equazioni di Einstein in un cono di luce\\. Dopo aver «ripulito» il problema, dimostrammo un bel teorema che illustra in modo molto intuitivo come la gravità sia una forza attrattiva per lo spazio-tempo. Più precisamente, il teorema afferma questo: si prende un punto e si inviano raggi luminosi in ogni direzione, poi si misura in ogni istante l’area formata dal fronte d’onda. Se si accettano le equazioni di Einstein e ci si trova nel vuoto oppure in un campo di materia a energia positiva, allora la superficie è minore di quella che si ha nello spazio di Minkowski, e l’uguaglianza vale se e solo se ci si trova nello spazio di Minkowski. Ciò mostra che le distanze spaziali diminuiscono quando vi si introduce materia o un campo gravitazionale. Preciso che questo articolo richiedeva, oltre a questioni matematiche, una certa potenza di calcolo per risolvere calcoli formali molto complessi; ciò fu possibile grazie a una collaborazione con José Martin Garcia. Questa ricerca all’Istituto Mittag-Leffler portò a diversi articoli comuni, che si rivelarono quasi gli ultimi di Yvonne.

(\\ Lo spazio di Minkowski modella lo spazio a tre dimensioni e il tempo, quarta dimensione dello spazio. Ha la particolarità di essere privo di gravità: è «piatto» perché rappresenta il vuoto assoluto. Si chiama cono di Minkowski un cono di luce nello spazio di Minkowski. Nello spazio di Minkowski la luce si propaga alla velocità c, dunque il fronte d’onda ha raggio ct e area pari a 4πc ²t ².)

Era molto semplice, gentile e modesta. Può sembrare banale, ma è vero. Era un piacere stare con lei e con i nostri amici comuni. Mia moglie adorava Yvonne. Mi sarebbe piaciuto continuare a lavorare con lei, perché aveva un modo molto originale di affrontare le questioni, una fantastica immaginazione matematica. Sa, quando si deve risolvere un problema matematico, occorre trovare una via d’accesso: si prova questa o quella tecnica, si tenta di trasformare il problema in uno equivalente… Tutti coloro che fanno questo mestiere conoscono molti espedienti per approfondire un problema. Ma Yvonne aveva sempre idee per aggirare le difficoltà, sapeva combinare gli espedienti giusti per giungere a una soluzione. È qualcosa che richiede molta inventiva. Dal punto di vista matematico, era una delle sue più grandi qualità.