Les trésors des polygones

L’évocation des polygones renvoie généralement aux figures géométriques de nos pavages, souvent réguliers. Leur effective simplicité pourrait faire accroire que leur étude est sans difficulté, donc sans intérêt. Pourtant, certaines opérations, comme vérifier la convexité ou différencier sommet et intersection de côtés pour un polygone croisé, demeurent complexes. Un premier travail est donc de chercher une définition suffisamment générale pour réunir des polygones aux noms exotiques – acoptiques, aploïques ou encore isotoxals – en une seule famille. Se pose alors la question de savoir si on peut obtenir de l’ensemble de leurs caractéristiques une typologie qui permette de les classer et de les construire.

Depuis l’Antiquité, on s’est intéressé, pour des problèmes de remembrement, à calculer l’aire d’un quadrilatère. Le mathématicien indien Brahmagupta en a établi une formule à partir de la mesure de ses côtés, formule semblable à celle de Héron d’Alexandrie pour les triangles. Une généralisation de ces expressions a récemment permis de déterminer l’aire d’un pentagone quelconque à partir de ses côtés. Autre problème antique, la construction de polygones réguliers à la règle et au compas. Il faudra attendre le XIXe siècle, les travaux de Gauss et le développement de la théorie de Galois, pour déterminer lesquels sont effectivement constructibles selon les règles d’Euclide.

Les polygones sortent largement du cadre strict de la géométrie, avec des applications pratiques ou ludiques. On les retrouve, par exemple, en architecture, dans les plans de bâtiments, ou en arithmétique sous la forme de nombres dits polygonaux. Ils sont naturellement les tesselles de nombreux puzzles, dont le plus ancien d’entre eux, le Stomachion d’Archimède. Il revient à Bolyai, le grand-père de la géométrie non euclidienne, d’avoir prouvé que deux polygones de même aire peuvent avoir les mêmes pièces constitutives. Depuis, Dudeney et les Demaine, père et fils, ont ouvert un vaste champ de créations – et récréations – mathématiques avec les polygones articulés.