Les tragédies grecques savaient faire apparaître au bon moment un dieu descendu d'on ne sait où grâce à une improbable machine pour aider les protagonistes à se sortir opportunément d'une situation délicate. Quel mathématicien n'a pas rêvé de cette inspiration extraterrestre, ce deus ex machina inattendu, qui arriverait à point nommé pour lui souffler l'idée de génie qui lui permettrait de raccorder le chaînon manquant à sa démonstration ?
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Des exemples célèbres et spectaculaires ---------------------------------------
Nous n'apprendrons pas au jeune Carl Friedrich Gauss (1777–1855) un moyen « magique » de calculer la somme des cent premiers entiers : c'est celui qu'il a, paraît-il, utilisé pour ce faire dès l'école primaire. Nous lui devons en effet ce deus ex machina historique. Pour calculer 1 + 2 + … + 99 + 100, il suffit d'additionner 1 + 100 = 101, puis 2 + 99 = 101… jusqu'à 100 + 1 = 101, pour obtenir 1 + 2 + … + 99 + 100 = 50 × 101 = 5 050. Le moyen se généralise évidemment au calcul de la somme des n premiers entiers : on additionne les nombres équidistants des extrêmes pour arriver à 1 + 2 + … + (n – 1) + n = n (n + 1) / 2. Il va sans dire, en suivant la même idée, que la somme 1 + 3 + … + (2n – 1) des n premiers entiers impairs est, elle, tout simplement égale à n2 puisque la somme des termes équidistants des extrêmes est ici égale à 2n. Spectaculaire, non ?
Un résultat géométrique cette fois, et à la démonstration non moins spectaculaire, est dû au mathématicien français Gaspard Monge (1746–1818), l'un des fondateurs de l'École polytechnique. Il s'agit, étant donnés trois cercles de rayons inégaux, dont les tangentes communes extérieures se coupent deux à deux en trois points, de prouver que ces trois points sont alignés. Là, Monge a invoqué un deus ex machina faisant un détour… par l'espace. Imaginez, a-t-il dit, au lieu de trois cercles dans le plan, trois sphères de l'espace, posées sur une surface plane P. Au lieu de tangentes, parlons de cônes tangents aux sphères deux à deux, comme des cornets autour de boules de glace doubles. Les sommets de ces cônes sont donc situés sur P. En plus, il existe une autre surface plane, qui « couvre » les trois sphères en leur étant tangente : c'est le plan Π, symétrique au plan P par rapport au plan formé par les centres des trois sphères. Π contient lui aussi les sommets des trois cônes, qui seront donc alignés sur l'intersection des deux plans P et Π et, du coup, notre résultat se trouve démontré par projection ! On raisonne aujourd'hui, pour démontrer cette propriété, en termes d'homothéties échangeant deux cercles, dont les intersections des tangentes sont précisément les centres. La composition de ces homothéties montre directement l'alignement des trois centres. Il n'en demeure pas moins que l'incursion de Monge par l'espace, très imaginative, s'est avérée fructueuse en son temps.