Le tragedie greche sapevano far comparire al momento opportuno un dio disceso chissà da dove grazie a un’improbabile macchina, per aiutare i protagonisti a districarsi da una situazione delicata. Quale matematico non ha mai sognato quell’ispirazione extraterrestre, quel deus ex machina inatteso, che arrivasse al momento giusto per suggerirgli l’idea geniale capace di ricongiungere l’anello mancante della sua dimostrazione?
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Esempi celebri e spettacolari ---------------------------------------
Non insegneremo certo al giovane Carl Friedrich Gauss (1777–1855) un modo «magico» per calcolare la somma dei primi cento numeri interi: pare che lo abbia usato già alle elementari. A lui dobbiamo infatti questo storico deus ex machina. Per calcolare 1 + 2 + … + 99 + 100, basta sommare 1 + 100 = 101, poi 2 + 99 = 101… fino a 100 + 1 = 101, ottenendo 1 + 2 + … + 99 + 100 = 50 × 101 = 5 050. Il metodo si generalizza naturalmente al calcolo della somma dei primi n numeri interi: si sommano i numeri equidistanti dagli estremi, arrivando a 1 + 2 + … + (n – 1) + n = n (n + 1) / 2. Va da sé che, seguendo la stessa idea, la somma 1 + 3 + … + (2n – 1) dei primi n numeri interi dispari è semplicemente uguale a n2, poiché qui la somma dei termini equidistanti dagli estremi è pari a 2n. Spettacolare, no?
Un risultato geometrico, questa volta, con una dimostrazione non meno spettacolare, si deve al matematico francese Gaspard Monge (1746–1818), uno dei fondatori dell’École polytechnique. Dati tre cerchi di raggi diversi, le cui tangenti comuni esterne si intersecano a due a due in tre punti, occorre dimostrare che questi tre punti sono allineati. Qui Monge invocò un deus ex machina passando… dallo spazio. Immaginate, disse, tre sfere nello spazio, anziché tre cerchi nel piano, appoggiate su un piano P. Al posto delle tangenti, parliamo di coni tangenti alle sfere a due a due, come conetti attorno a doppie palline di gelato. I vertici di questi coni si trovano dunque su P. Inoltre esiste un altro piano che «copre» le tre sfere essendo loro tangente: è il piano Π, simmetrico al piano P rispetto al piano formato dai centri delle tre sfere. Anche Π contiene i vertici dei tre coni, che saranno quindi allineati sull’intersezione dei due piani P e Π e, così, il nostro risultato è dimostrato per proiezione! Oggi, per dimostrare questa proprietà, si ragiona in termini di omotetie che scambiano due cerchi, e di cui i punti di intersezione delle tangenti sono precisamente i centri. La composizione di queste omotetie mostra direttamente l’allineamento dei tre centri. Resta il fatto che l’incursione nello spazio di Monge, assai fantasiosa, si rivelò fruttuosa a suo tempo.