Las tragedias griegas sabían hacer aparecer en el momento oportuno a un dios que descendía de quién sabe dónde gracias a una máquina inverosímil, para ayudar a los protagonistas a salir airosos de una situación delicada. ¿Qué matemático no ha soñado con esa inspiración extraterrestre, ese deus ex machina inesperado que llegaría en el momento justo para susurrarle la idea genial que le permitiría unir el eslabón que falta en su demostración?
-
Ejemplos célebres y espectaculares ---------------------------------------
No vamos a enseñarle al joven Carl Friedrich Gauss (1777–1855) un método «mágico» para calcular la suma de los cien primeros números naturales: al parecer, él mismo lo utilizó ya en la escuela primaria. A él debemos, en efecto, este histórico deus ex machina. Para calcular 1 + 2 + … + 99 + 100, basta sumar 1 + 100 = 101, después 2 + 99 = 101… y así hasta 100 + 1 = 101, para obtener 1 + 2 + … + 99 + 100 = 50 × 101 = 5 050. El método se generaliza, evidentemente, al cálculo de la suma de los n primeros números naturales: se suman los números equidistantes de los extremos para llegar a 1 + 2 + … + (n – 1) + n = n (n + 1) / 2. No hace falta decir que, siguiendo la misma idea, la suma 1 + 3 + … + (2n – 1) de los n primeros números impares es simplemente igual a n2, puesto que aquí la suma de los términos equidistantes de los extremos es igual a 2n. Espectacular, ¿no?
Un resultado geométrico, esta vez, con una demostración no menos espectacular, se debe al matemático francés Gaspard Monge (1746–1818), uno de los fundadores de la École polytechnique. Dados tres círculos de radios desiguales cuyas tangentes exteriores comunes se cortan dos a dos en tres puntos, hay que demostrar que estos tres puntos están alineados. Monge invocó entonces un deus ex machina que daba un rodeo… por el espacio. Imaginemos, dijo, tres esferas apoyadas sobre un plano P, en lugar de tres círculos en el plano. En vez de tangentes, hablemos de conos tangentes a cada par de esferas, como cucuruchos alrededor de bolas dobles de helado. Los vértices de esos conos se encuentran, por tanto, sobre P. Además, existe otro plano tangente a las tres esferas, que las «cubre»: es el plano Π, simétrico de P respecto del plano formado por los centros de las tres esferas. Los vértices de los tres conos pertenecen también a Π; por consiguiente, se alinean sobre la recta de intersección de los planos P y Π y, así, nuestro resultado queda demostrado por proyección. Hoy esta propiedad se demuestra mediante homotecias que intercambian dos círculos y cuyos centros son precisamente las intersecciones de las tangentes. La composición de estas homotecias muestra directamente la alineación de los tres centros. La incursión de Monge por el espacio, muy imaginativa, resultó fructífera en su época.