Balinski Michel

En 1940, Michel Balinski quitte la France pour les États-Unis à l'arrivée des nazis. Il y étudie l'économie puis les mathématiques, avant de revenir s'installer en France en 1980.

Son parcours relie deux questions concrètes : comment organiser au mieux des transports ou des coûts, et comment transformer des votes en décisions collectives. Il a aussi donné son nom à un théorème selon lequel le graphe d'un polytope convexe de dimension d est d-connexe par sommets : il reste connecté si l'on retire moins de d sommets.

Michel Balinski (1933-2019) est un économiste et mathématicien franco-américain. Parti de France pour les États-Unis en 1940, il obtient un diplôme d'économie au Massachusetts Institute of Technology en 1956, puis un doctorat de mathématiques à Princeton en 1959. Sa thèse relie déjà algorithmique, optimisation et polyèdres convexes.

Un résultat de cette thèse étudie les polytopes comme des graphes : leurs sommets deviennent les sommets du graphe et leurs arêtes en deviennent les liaisons. Le théorème de Balinski affirme que le graphe d'un polytope convexe de dimension d est d-connexe par sommets : supprimer moins de d sommets ne le déconnecte pas. L'exemple guidé permet de refaire ce test sur le graphe d'un tétraèdre. Publié en 1961, ce résultat est connu sous le nom de théorème de Balinski. Ses recherches en recherche opérationnelle concernent aussi les problèmes de transport et de coût, tandis que ses contributions relèvent plus largement de l'optimisation combinatoire.

Balinski travaille également sur les systèmes électoraux, la théorie des jurys et les choix sociaux. Avec H. Peyton Young, il publie un livre dont l'influence atteint la répartition des sièges dans plusieurs assemblées nationales. Il propose aussi le système de vote appelé « majority judgment », encore débattu. Installé en France à partir de 1980, il devient directeur de recherche au CNRS et dirige le Laboratoire d'économétrie de l'École polytechnique jusqu'à sa retraite.

Prenons un tétraèdre, polytope convexe de dimension 3. Son graphe possède quatre sommets ; chaque paire de sommets est reliée par une arête. On peut donc tester concrètement l'énoncé vulgarisé du théorème de Balinski : retirer moins de trois sommets ne doit pas déconnecter ce graphe.

1. Retirons un sommet. Les trois sommets restants forment encore un triangle : chacun est relié aux deux autres, donc le graphe reste connecté.

2. Retirons maintenant deux sommets, quel que soit le couple choisi. Les deux sommets restants sont toujours reliés par une arête : le graphe reste encore connecté.

3. Le contrôle porte bien sur tous les retraits autorisés par « moins de 3 » : zéro, un ou deux sommets. Dans chaque cas, les sommets qui restent appartiennent à une seule composante connectée.

Ce petit cas illustre la propriété sans la démontrer pour tous les polytopes : il montre comment lire « 3-connexe par sommets » pour un tétraèdre. La distinction biographique demeure utile : le résultat figurait dans la thèse de 1959, puis a été publié en 1961.

En géométrie combinatoire, le théorème de Balinski porte sur les polytopes vus comme des graphes. Cette piste est pertinente lorsque la question concerne les connexions entre sommets, et non toute la géométrie des polyèdres convexes.

Pour un problème de transport ou de coût, ses travaux de recherche opérationnelle et d'optimisation combinatoire fournissent le bon contexte. La programmation linéaire ou non linéaire décrit une partie de sa formation et de ses recherches, pas la totalité de son œuvre.

Pour étudier la conversion des préférences collectives en décisions, il faut se tourner vers ses travaux sur les systèmes électoraux, les jurys et les choix sociaux. La répartition des sièges renvoie au livre écrit avec H. Peyton Young ; le « majority judgment » désigne une autre proposition de vote.

Le théorème de Balinski n'est pas un nom collectif pour tous ses travaux. Le critère décisif est l'objet étudié : ce théorème concerne les polytopes considérés comme des graphes ; les transports, les coûts ou le vote relèvent d'autres recherches.

Le « majority judgment » ne se confond pas avec les travaux menés avec H. Peyton Young sur la répartition des sièges. Dans la source, le premier est un système de vote proposé par Balinski ; les seconds sont associés à un livre commun et à son influence sur des assemblées nationales.

La date de 1961 est celle de la publication du résultat connu comme le théorème de Balinski. Le résultat figurait déjà dans la thèse de 1959 : attribuer indistinctement les deux dates à la thèse ou au théorème effacerait cette différence.

L'influence du livre écrit avec H. Peyton Young sur plusieurs assemblées nationales ne signifie pas que tous les systèmes électoraux dérivent de cet ouvrage. Il faut conserver la portée précise donnée par la source : une influence concrète sur la répartition des sièges.

Le « majority judgment » est présenté comme une proposition qui reste débattue. Le citer parmi les contributions de Balinski ne suffit donc pas à le traiter comme une solution universellement admise.

Réduire Balinski à une seule discipline masque la structure de son parcours. L'économie, les mathématiques, la recherche opérationnelle et la théorie du choix social sont ici des composantes reliées, non des étiquettes interchangeables.

Le glossaire polyèdre convexe précise l'objet géométrique dont les sommets et les arêtes deviennent un graphe dans le théorème de Balinski.

Le glossaire recherche opérationnelle situe le domaine où Balinski étudie notamment les problèmes de transport et de coût.

L'article Les métaheuristiques ouvre sur d'autres démarches d'optimisation combinatoire et aide à replacer ce volet de ses recherches.