Coxeter Harold Scott MacDonald

Né à Londres en 1907, Donald Coxeter manifeste très tôt un talent pour la géométrie. À 19 ans, il découvre une catégorie de polyèdres qui n'avait pas encore été répertoriée. En 1931, il soutient une thèse consacrée aux polytopes réguliers.

Son idée directrice consiste à regarder les symétries d'une forme pour la situer et la classer. Dans le cadre des polytopes réguliers convexes, il s'appuie sur le groupe complet des symétries, engendré par des réflexions. Ce travail, mené principalement à l'Université de Toronto, relie les polyèdres de l'espace ordinaire aux polytopes des dimensions supérieures, sans limiter à celles-ci la notion générale de polytope.

Harold Scott MacDonald Coxeter, appelé Donald Coxeter (Londres, 1907 – Toronto, 2003), est un mathématicien britannique naturalisé canadien. Considéré comme l'un des plus grands géomètres du XXe siècle, il consacre ses recherches à la géométrie et accomplit l'essentiel de sa carrière à l'Université de Toronto.

Ses objets privilégiés sont les polyèdres réguliers et les polytopes. La notion de polytope vaut en plusieurs dimensions, dont les dimensions 1, 2 et 3 ; cette fiche met l'accent sur son prolongement au-delà de la dimension 3. Coxeter étudie en particulier les polytopes réguliers convexes et établit leur classification à partir de leur groupe complet de symétries, engendré par des réflexions. Cette approche donne naissance à la théorie des groupes de Coxeter.

Son parcours associe précocité et continuité : à 19 ans, il découvre une catégorie de polyèdres jusque-là non répertoriée ; sa thèse de 1931 porte sur les polytopes réguliers. Il contribue aussi à faire connaître les travaux d'Alicia Boole-Stott sur les polytopes en dimension 4. Ses recherches nourrissent enfin l'œuvre graphique de son ami Maurits Cornelis Escher et les constructions architecturales de Richard Buckminster Fuller.

Suivons le fil choisi dans la notice. Il part des polyèdres réguliers en dimension 3, étend le cadre aux dimensions supérieures, puis considère les polytopes réguliers convexes et leur groupe complet de symétries. Ce parcours ne constitue pas une définition générale du polytope, notion qui vaut aussi en dimensions 1, 2 et 3.

Le schéma associé rend visibles les quatre étapes sans représenter un polytope particulier ni ajouter de chronologie.

1. Pour les besoins de ce parcours, on part des polyèdres réguliers, objets géométriques de dimension 3 étudiés par Coxeter.

2. Avant de passer aux dimensions supérieures à 3, prenons un cube comme cas d'essai : c'est un polyèdre régulier convexe de dimension 3. Marquez mentalement un sommet, puis imaginez la réflexion dans le plan médian qui passe par le centre du cube et reste parallèle à deux faces opposées.

3. Après cette réflexion, le sommet marqué est envoyé sur un autre sommet, tandis que les sommets, les arêtes et les faces du cube coïncident de nouveau avec ceux du cube initial. On constate ainsi que cette réflexion préserve le cube : elle appartient à son groupe de symétries. Le même contrôle consiste, pour chaque transformation examinée, à vérifier que le polytope se superpose à lui-même.

4. Une réflexion ne constitue pas à elle seule le groupe complet : il faut réunir toutes les transformations qui préservent le polytope. On reprend ensuite ce principe pour les polytopes réguliers convexes des dimensions supérieures à 3. Dans ce cadre, Coxeter fonde leur classification sur leurs groupes complets de symétries. Le cube est l'objet géométrique du cas d'essai ; son groupe fournit le principe de classement. Cette distinction conduit à la théorie des groupes de Coxeter.

Pour situer Coxeter dans l'histoire des mathématiques, on peut suivre trois repères sûrs : Londres et 1907 pour sa naissance, 1931 pour sa thèse sur les polytopes réguliers, puis l'Université de Toronto pour l'essentiel de sa carrière. Si une chronologie exige une date plus fine pour un résultat, la notice ne suffit pas et il faut conserver une formulation non datée.

Pour contrôler une explication de la classification, on peut chercher trois éléments : le polytope étudié, les transformations qui le préservent et le rôle du groupe complet dans le classement. Si l'un manque, la formule « classification par les symétries » reste trop vague pour être vérifiée ; le cas du cube dans l'exemple guidé fournit un premier test concret.

Pour relier mathématiques et création, on conserve le sens de l'influence indiqué par la source : les recherches de Coxeter inspirent les œuvres d'Escher et les constructions de Fuller. Si l'on cherche une contribution mathématique précise, il faut revenir aux polytopes et aux groupes de symétrie plutôt qu'aux productions artistiques ou architecturales.

Donald Coxeter et un groupe de Coxeter. Le premier est le géomètre né en 1907 ; le second est un objet mathématique de la théorie mobilisée pour classer les polytopes réguliers convexes. Dans une phrase, la présence d'un prénom désigne la personne, tandis que le mot « groupe » signale la structure.

Polyèdre et polytope. Au sens général, la notion de polytope vaut notamment en dimensions 1, 2 et 3, comme dans les dimensions supérieures. Par convention dans le parcours de cette fiche, « polyèdre » désigne l'objet de dimension 3 et « polytope » les objets étudiés au-delà ; un objet explicitement placé en dimension 4 relève donc ici du second terme.

Résultat scientifique et influence créatrice. La classification considérée ici est celle des polytopes réguliers convexes, étudiés au moyen de leur groupe complet de symétries. Elle est attribuée à Coxeter. Escher et Fuller sont cités parce que ces recherches ont inspiré leurs créations ; cette influence ne leur attribue pas la classification mathématique.

Une découverte précoce sans intitulé précis. La source indique qu'à 19 ans Coxeter découvre une catégorie de polyèdres non répertoriée, mais elle ne la nomme pas. Le signal d'alerte est l'ajout d'un nom ou d'une année civile déduite ; il faut s'en tenir à l'âge fourni.

1931 ne date que la thèse. Cette année est associée à la soutenance d'un travail sur les polytopes réguliers. Elle ne doit pas être reportée sur la découverte faite à 19 ans ni sur la classification par groupes de symétrie, que la source ne date pas séparément.

Réguliers ne signifie pas tous. La classification mentionnée porte sur les polytopes réguliers. Une présentation qui l'étend sans réserve à tous les polytopes dépasse la source ; il faut conserver l'adjectif qui borne le résultat.

Nationalité et lieux de vie. Coxeter naît à Londres, est britannique puis naturalisé canadien, travaille principalement à Toronto et y meurt en 2003. Dire seulement « mathématicien canadien né à Toronto » ferait disparaître deux distinctions vérifiables ; il faut séparer naissance, naturalisation et carrière.

Le glossaire polyèdre régulier précise l'objet de dimension 3 au départ des recherches présentées dans cette fiche.

Le glossaire polytope présente cette notion, valable notamment en dimensions 1, 2 et 3, puis dans les dimensions supérieures étudiées par Coxeter.

Le glossaire groupe de symétrie éclaire le principe sur lequel Coxeter fonde, dans le cadre considéré ici, la classification des polytopes réguliers convexes à partir de leur groupe complet de symétries.

Le portrait Escher Maurits permet de suivre le versant artistique de l'influence exercée par les recherches du géomètre.