Ehrhart Eugène

Entre 1906 et 2000, Eugène Ehrhart partage sa vie de mathématicien entre l'enseignement, à Metz puis à Strasbourg, et des recherches personnelles. Il s'intéresse notamment aux équations dont on cherche des solutions entières.

Son idée la plus célèbre part d'un dessin quadrillé. On agrandit une figure dont les sommets sont sur la grille, puis on compte tous les points de la grille qu'elle contient. À chaque taille entière, le résultat est donné par un même polynôme : le polynôme d'Ehrhart.

Eugène Ehrhart (1906-2000) est un mathématicien français, professeur agrégé au lycée de Metz puis au lycée Kléber de Strasbourg. En parallèle de son enseignement, il mène des recherches personnelles sur les équations diophantiennes, la géométrie et la combinatoire. Il publie de nombreux articles, environ soixante notes aux Comptes Rendus de l'Académie des Sciences et deux ouvrages, dont Polynômes arithmétiques et méthode des polyèdres en combinatoire. L'Académie des Sciences récompense ses travaux en 1959 et en 1974.

Son nom reste attaché au polynôme d'Ehrhart. Soit P un polytope convexe dont les sommets ont des coordonnées entières, dans un espace de dimension d. Pour chaque entier naturel n, on dilate P par le facteur n et l'on compte les points à coordonnées entières situés à l'intérieur ou sur le bord. Ce nombre est noté L_P(n).

Lorsque P est un polytope entier, cette fonction de n est un polynôme de degré égal à la dimension de P. Cette propriété transforme une suite de comptages géométriques en un objet algébrique unique.

Prenons pour polytope P le carré dont les sommets sont (0, 0), (1, 0), (1, 1) et (0, 1). Le facteur de dilatation n est un entier naturel. Les points situés sur le bord sont comptés avec ceux de l'intérieur.

1. Pour n = 1, chaque coordonnée peut valoir 0 ou 1. Le carré contient donc 2 × 2 = 4 points entiers.
2. Pour n = 2, chaque coordonnée peut valoir 0, 1 ou 2. On obtient 3 × 3 = 9 points.
3. Pour n = 3, les quatre valeurs 0, 1, 2 et 3 sont possibles sur chaque axe. On compte 4 × 4 = 16 points.

Pour un facteur n quelconque, il y a n + 1 choix pour chacune des deux coordonnées. Le polynôme recherché est donc $L_P(n)=(n+1{)}^{2}L\_P(n)=(n+1)^2$. Le contrôle est immédiat : pour n = 3, la formule redonne (3 + 1)² = 16, comme le comptage rangée par rangée.

Pour une petite dilatation, on peut placer les points sur un quadrillage et les compter directement. Cette méthode est préférable lorsque la figure et le facteur restent assez petits pour qu'aucun point ne soit oublié.

Pour comparer de nombreuses dilatations du même polytope entier, le polynôme évite de recommencer tout le dessin. Une fois L_P déterminé, on remplace n par le facteur voulu et l'on obtient le nombre de points.

Dans un problème d'équations diophantiennes, les solutions admissibles peuvent parfois être représentées par des points entiers soumis à des contraintes géométriques. Le comptage par polytope devient pertinent si ces contraintes délimitent précisément une région convexe dilatée ; sinon, il faut conserver une méthode adaptée aux équations elles-mêmes.

Eugène Ehrhart et le polynôme d'Ehrhart. Le premier est le mathématicien français né en 1906 et mort en 2000 ; le second est l'objet mathématique qui porte son nom. Une date ou un lieu d'enseignement concerne la personne, tandis qu'une valeur L_P(n) concerne le polynôme.

Un comptage isolé et le polynôme complet. Compter 16 points dans le carré dilaté par 3 donne une seule valeur. Établir L_P(n) = (n + 1)² décrit le comptage pour tous les facteurs entiers naturels n.

Sommets rationnels non entiers. Le caractère polynomial énoncé ici suppose que tous les sommets du polytope ont des coordonnées entières. Avec des sommets rationnels non entiers, les valeurs peuvent varier périodiquement avec n ; le comptage est alors donné par un quasi-polynôme plutôt que par un polynôme ordinaire.

Facteur de dilatation. L_P(n) compte les points pour un entier naturel n. Une valeur comme n = 1,5 ne relève pas directement de cette suite, même si la figure géométrique peut être dilatée par ce facteur.

Bord omis. Le comptage standard inclut l'intérieur et le bord. Pour le carré dilaté par 3, enlever le bord laisserait seulement 4 points, et non les 16 donnés par L_P(3). Il faut annoncer explicitement un comptage intérieur si c'est celui que l'on étudie.

Dimension ambiante. Le degré correspond à la dimension propre du polytope. Un segment placé dans le plan reste de dimension 1 ; son polynôme est donc de degré 1, pas de degré 2.

Polytope — Pour préciser la structure géométrique que l'on dilate et dont on compte les points entiers.

Équation diophantienne — Pour retrouver l'autre grand domaine de recherche cité dans le parcours d'Eugène Ehrhart.

Analyse combinatoire — Pour situer le dénombrement des points entiers parmi les méthodes générales de comptage.