bargaining set

Imaginez plusieurs joueurs qui mettent leurs ressources en commun avant de se les répartir. Une allocation indique la part reçue par chacun. Elle doit d'abord respecter ce que la coalition a réellement obtenu, puis résister aux propositions qui avantageraient certains joueurs sans accord acceptable pour les autres.

Le bargaining set rassemble ces répartitions possibles et suffisamment solides pour rester défendables pendant la négociation. Il ne désigne donc pas un partage unique : selon les données du jeu, plusieurs allocations peuvent appartenir à cet ensemble.

Dans un jeu coopératif, les joueurs peuvent former des coalitions et la fonction caractéristique associe à chaque coalition la valeur qu'elle peut garantir. Une allocation est un vecteur de gains attribuant une part à chaque joueur. Elle est réalisable lorsque les gains distribués restent compatibles avec la valeur disponible pour la grande coalition ; dans le cas transférable, la somme des gains ne dépasse pas la valeur de cette coalition.

Le bargaining set est un concept de solution : il sélectionne, parmi les imputations — des allocations réalisables, efficaces et individuellement rationnelles —, celles qui sont stables face aux objections des joueurs. Dans la convention standard de Maschler retenue ici, une objection de la coalition S contre un joueur i qui n'appartient pas à S est une répartition y telle que y(S) ≤ v(S) et yⱼ > xⱼ pour chaque j de S : tous les membres de S doivent strictement améliorer leur gain. Une contre-objection est une coalition T contenant i et une répartition z qui respecte les conditions correspondantes de cette convention, notamment zⱼ ≥ yⱼ pour les membres de T ∩ S et zⱼ > xⱼ pour ceux de T hors de S. Une allocation appartient au bargaining set lorsqu'aucune objection recevable ne reste sans contre-objection.

La définition précise dépend donc du modèle de jeu et de la notion d'objection adoptée. Le bargaining set peut contenir plusieurs allocations, et il ne faut pas le confondre avec une règle qui choisirait nécessairement un partage unique.

Deux joueurs négocient la répartition de 10 unités produites ensemble. Aucun joueur ne peut obtenir seul une unité : les coalitions individuelles valent 0, tandis que la coalition des deux joueurs vaut 10. On note x₁ et x₂ les gains des joueurs 1 et 2.

La valeur disponible est de 10 unités. Le gain individuel garanti par chaque joueur est de 0 unité. Les gains proposés sont x₁ et x₂, avec la règle de partage x₁ + x₂ = 10.

La faisabilité impose que le partage ne dépasse pas les 10 unités disponibles : x₁ + x₂ ≤ 10. Comme on étudie ici des partages exhaustifs, on se place sur la frontière x₁ + x₂ = 10.
La rationalité individuelle est une contrainte distincte : chaque gain doit rester au moins égal à ce que le joueur peut garantir seul, soit x₁ ≥ 0 et x₂ ≥ 0.
Les allocations à la fois faisables et individuellement rationnelles sur cette frontière vont donc de (0, 10) à (10, 0), en passant par (5, 5).

Dans ce jeu à deux joueurs, une objection selon la convention de Maschler contre l'un des joueurs devrait venir d'une coalition qui l'exclut. La seule coalition propre possible est alors l'autre joueur seul, dont la valeur vaut 0 : elle ne peut pas offrir à son membre une amélioration stricte lorsque xⱼ ≥ 0. Il n'existe donc aucune objection recevable non contrée. Sous cette convention standard et avec les valeurs v({1}) = v({2}) = 0 et v({1,2}) = 10, toutes les allocations réalisables du segment constituent le bargaining set de cet exemple simplifié. Pour appliquer réellement les deux tests, considérons séparément un jeu à trois joueurs avec l'allocation candidate x = (2, 2, 2), v({1,2}) = 5 et v({2,3}) = 6. La coalition S = {1,2} objecte au joueur 3 avec y=(y₁,y₂)=(2,25 ; 2,75) : y₁=2,25> x₁=2, y₂=2,75> x₂=2 et y(S)=y₁+y₂=5 ≤ v(S)=5. La coalition T = {2,3} contre-objecte avec z=(z₂,z₃)=(2,75 ; 3,25) : z₂=2,75 ≥ y₂=2,75, z₃=3,25> x₃=2 et z(T)=z₂+z₃=6 ≤ v(T)=6. L'objection est donc contrée dans cette illustration ; ce test local ne suffit pas, à lui seul, à établir l'appartenance de x au bargaining set, car toutes les autres coalitions doivent encore être examinées.

Le contrôle est direct : pour (4, 6), la somme vaut 10 et les deux gains sont positifs ; pour (6, 5), la somme vaut 11, donc la proposition n'est pas réalisable. La figure montre la frontière exacte des partages possibles.

Pour analyser une négociation collective, on commence par décrire les coalitions possibles et la valeur que chacune peut garantir. Cette étape permet de séparer les ressources réellement disponibles des préférences de partage.

On examine ensuite une allocation candidate : chaque gain est comparé à la contribution ou à la garantie de la coalition concernée. Lorsqu'une coalition peut proposer une amélioration crédible, on recherche la réponse qui la neutralise dans le modèle choisi.

Le bargaining set sert ainsi à conserver les répartitions qui résistent à cet examen des objections. Si l'objectif est de sélectionner une seule solution selon l'équité, la proportionnalité ou un autre critère, il faut employer une règle supplémentaire et l'annoncer explicitement.

Le bargaining set ne désigne pas automatiquement le cœur d'un jeu coopératif. Le critère testable n'est pas le même : le cœur vérifie directement qu'aucune coalition ne puisse améliorer simultanément le sort de tous ses membres, tandis que le bargaining set organise cette stabilité autour d'objections et de contre-objections. Une allocation peut donc être examinée différemment selon le concept de solution retenu.

Il ne s'agit pas non plus d'un partage égal. Dans l'exemple des 10 unités, (5, 5) est une allocation possible, mais (4, 6) l'est aussi. L'égalité est un choix supplémentaire, non le critère qui définit à lui seul l'ensemble de négociation.

Une allocation qui distribue plus de ressources que la grande coalition n'en crée n'est pas réalisable. Dans l'exemple conducteur, (6, 5) atteint 11 unités alors que le total disponible vaut 10 : elle sort immédiatement de l'ensemble à étudier.

La stabilité n'est pas une propriété absolue d'un partage isolé. Elle dépend des coalitions autorisées, de leurs valeurs et de la convention utilisée pour définir une objection et sa réponse. Sans ces données, affirmer qu'une allocation appartient au bargaining set serait excessif.

Enfin, dans la convention standard de Maschler pour les jeux coopératifs transférables, le bargaining set est non vide ; il peut comporter plusieurs allocations et ne garantit donc pas l'unicité d'un résultat. Une règle d'équité ou de sélection doit être ajoutée lorsque la décision exige un seul partage.

Pour prolonger l'étude, on peut formaliser chaque coalition par sa valeur, puis comparer plusieurs concepts de solution sur le même jeu. Cette démarche met en évidence ce que chaque critère de stabilité protège et pourquoi deux concepts voisins peuvent retenir des allocations différentes. Elle constitue une suite naturelle à l'exemple à deux joueurs, avant d'aborder des jeux comportant trois joueurs ou davantage.