AnalyseNotion · Glossaire
boîte d'Heisenberg
La boîte d'Heisenberg est une représentation géométrique des dispersions statistiques de la position et de la quantité de mouvement dans un état quantique. Ses côtés correspondent aux écarts-types Δx et Δp de distributions obtenues pour des systèmes préparés de la même manière. Le principe d'incertitude d'Heisenberg impose que ces deux dispersions ne puissent pas être rendues simultanément arbitrairement petites.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Interpréter les deux côtés de la boîte dans une même direction.
- Appliquer exactement la borne Δx × Δp ≥ ℏ/2 dans des unités normalisées.
- Distinguer l'incertitude quantique d'une erreur de mesure et d'une boîte matérielle.
En clair
Imaginez une particule décrite par une tache sur une règle. Si la tache se resserre, sa position devient mieux délimitée. En contrepartie, les quantités de mouvement obtenues sur de nombreuses préparations identiques se dispersent davantage.
La « boîte » rassemble ces deux largeurs : l'une selon la position, l'autre selon la quantité de mouvement. On peut réduire un côté, mais pas les deux sans limite. Cette incertitude appartient à l'état quantique ; elle ne décrit pas simplement un appareil mal réglé.
Définition
Pour une direction donnée, la boîte d'Heisenberg est une représentation de l'étalement conjoint de la position et de la quantité de mouvement d'un état quantique. L'incertitude de position, notée Δx, et l'incertitude de quantité de mouvement dans la même direction, notée Δp, sont leurs écarts-types. Elles décrivent des distributions obtenues sur un ensemble de systèmes préparés de la même manière.
La constante de Planck réduite est notée ℏ. Les deux écarts-types vérifient la relation . Dans le plan dont les axes sont la position et la quantité de mouvement, un rectangle de côtés Δx et Δp donne donc une image de la boîte. La figure compare deux rectangles à l'aire minimale dans des unités où ℏ vaut 1.
Le mot « volume » dépend de la représentation choisie. Dans une dimension, il s'agit d'une aire dans le plan position–quantité de mouvement. Dans plusieurs dimensions, chaque coordonnée se couple avec la composante correspondante de la quantité de mouvement. La boîte n'est pas une enceinte matérielle et ses bords ne sont pas des frontières certaines.
Un exemple, pas à pas
Considérons une seule direction et choisissons des unités normalisées dans lesquelles ℏ = 1. Les données sont une incertitude de position initiale Δx = 2 et la borne . On suppose d'abord que l'état atteint exactement cette borne.
Étape 1. On remplace Δx par 2 : . La plus petite incertitude compatible est donc Δp = 1/4. Le produit vaut bien 2 × 1/4 = 1/2.
Étape 2. On resserre l'incertitude de position à Δx = 1, toujours à la borne minimale. La relation devient , donc Δp = 1/2.
Contrôle. La largeur en position a été divisée par 2, tandis que la largeur minimale en quantité de mouvement a été multipliée par 2. Les deux produits valent exactement 1/2. Pour un état qui n'atteint pas la borne, Δp serait plus grand que ces valeurs minimales.
En pratique
Pour lire une représentation d'état quantique, on repère d'abord la direction considérée, puis les deux largeurs Δx et Δp. Si seule la position est représentée, une distribution de quantité de mouvement est nécessaire avant de parler de boîte complète.
Pour comparer deux préparations, on calcule le produit Δx × Δp dans les mêmes unités et pour la même direction. Une boîte plus étroite en position n'est pas, à elle seule, « plus précise » : il faut regarder l'élargissement associé en quantité de mouvement.
Pour diagnostiquer une dispersion expérimentale, on sépare l'étalement propre à l'état des erreurs de calibration ou du bruit de l'appareil. Les secondes appellent une meilleure mesure ; le premier reste soumis à la borne d'Heisenberg.
À ne pas confondre
Incertitude quantique et erreur de mesure. Une erreur de calibration change quand l'appareil est corrigé. La borne sur Δx × Δp concerne au contraire les dispersions d'un état quantique, même avec un dispositif idéal.
Principe d'incertitude et perturbation par l'observation. Un appareil peut perturber la particule, mais la relation entre Δx et Δp ne se réduit pas à ce choc. Elle compare les statistiques de position et de quantité de mouvement pour une même préparation.
Boîte d'Heisenberg et boîte matérielle. Une enceinte possède des parois qui confinent un objet. La boîte d'Heisenberg est un dessin des incertitudes : dépasser un côté du rectangle reste possible, car un écart-type n'est pas une frontière.
Limites et pièges
Le rectangle n'enferme pas toutes les valeurs. Ses côtés représentent des écarts-types. Une mesure située au-delà d'un écart-type n'invalide donc pas le principe ; il faut examiner la distribution entière au lieu de traiter le contour comme une paroi.
L'égalité n'est pas automatique. Le cas Δx × Δp = ℏ/2 est le cas minimal retenu dans l'exemple. Un état général peut donner un produit strictement supérieur ; il faut conserver le signe ≥ tant que l'état ne justifie pas l'égalité.
Les directions ne se mélangent pas. L'incertitude Δx se compare à la composante Δp de la même direction. En plusieurs dimensions, on vérifie séparément les couples correspondants au lieu de multiplier arbitrairement toutes les largeurs.
Une largeur nulle est exclue dans ce modèle. Si Δx tend vers 0, la borne impose que Δp devienne sans limite. Attribuer simultanément Δx = 0 et une valeur finie à Δp contredit donc la relation d'Heisenberg.
Pour aller plus loin
Les espaces de Hilbert, un cadre pour la mécanique quantique présente le cadre mathématique dans lequel les états et les observables quantiques sont décrits.
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