AnalyseObjet mathématique · Glossaire
fonction d'onde
En mécanique quantique, la fonction d'onde (notée ψ) est une fonction complexe d'espace et de temps qui décrit l'état quantique d'un système physique. Elle est solution de l'équation de Schrödinger. La quantité |ψ(x, t)|² représente la densité de probabilité de trouver la particule à la position x à l'instant t. La fonction d'onde doit être normalisée : ∫|ψ|² dx = 1. Elle n'est pas directement observable, mais toutes les grandeurs mesurables (énergie, impulsion, etc.) en sont dérivées par application des opérateurs quantiques correspondants. La superposition des fonctions d'onde traduit le principe de superposition quantique.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Interpréter correctement ψ et |ψ|².
- Contrôler la normalisation d'une fonction d'onde.
- Calculer une probabilité de position sur un intervalle.
- Distinguer l'état quantique d'une grandeur observable.
En clair
Imaginez que l'on répète la même mesure de position sur des systèmes préparés de façon identique. Les résultats ne sont pas nécessairement tous au même endroit. La fonction d'onde ψ rassemble ce que l'état quantique permet de prévoir. Sa valeur peut être complexe et ne se lit donc pas comme une probabilité. En revanche, son module au carré, noté |ψ|², donne la densité des positions possibles. La probabilité qu'un résultat tombe dans une zone s'obtient en intégrant cette densité sur la zone : deux zones se comparent donc par ces intégrales, pas par la seule valeur locale de la densité.
Définition
La fonction d'onde, notée par la lettre grecque ψ, est une fonction complexe des coordonnées d'espace et du temps. Elle décrit l'état quantique d'un système physique et évolue comme une solution de l'équation de Schrödinger.
Pour une position désignée par x et un instant désigné par t, la quantité |ψ(x, t)|2 est la densité de probabilité de position. Sur tout le domaine des positions considéré, noté D, la probabilité totale doit valoir 1 : . Cette condition est la normalisation. Elle garantit qu'une mesure de position donne un résultat quelque part dans le domaine considéré.
La fonction ψ n'est pas elle-même directement observable. Une grandeur mesurable, comme l'énergie ou l'impulsion, s'en déduit en appliquant l'opérateur quantique correspondant. Enfin, plusieurs fonctions d'onde peuvent être superposées : leur combinaison représente alors une superposition quantique, sous réserve d'être normalisée.
De quoi c'est fait
Une fonction d'onde réunit cinq éléments liés. Son domaine fixe les positions x et les instants t considérés. Sa valeur complexe ψ(x, t) porte l'information sur l'état quantique. Son module au carré |ψ(x, t)|2 transforme cette amplitude en densité de probabilité de position. La normalisation impose que l'intégrale de cette densité vaille 1. Enfin, l'équation de Schrödinger relie les valeurs de ψ au cours du temps. Le module au carré dépend donc de ψ, tandis que les probabilités calculées dépendent à leur tour de sa normalisation. Ces données suffisent à prévoir des distributions de position et, avec les opérateurs appropriés, les autres grandeurs mesurables.
Un exemple, pas à pas
Considérons un système dont la position x appartient à l'intervalle de 0 à 1. À l'instant étudié, on donne la fonction réelle, donc aussi complexe, . Hors de cet intervalle, elle vaut 0. Les données sont donc le domaine [0, 1] et cette expression de ψ.
1. On élève le module de ψ au carré : .
2. On contrôle la normalisation : .
3. La probabilité de trouver la position entre 0 et 1/2 est .
Le résultat est donc une probabilité de 1/2, soit 50 %. Le contrôle est refaisable par symétrie : la densité a la même forme sur chaque moitié de l'intervalle, et les deux moitiés totalisent 1. Le schéma prévu compare l'amplitude et sa densité sur ce même domaine.
2. On contrôle la normalisation : .
3. La probabilité de trouver la position entre 0 et 1/2 est .
Le résultat est donc une probabilité de 1/2, soit 50 %. Le contrôle est refaisable par symétrie : la densité a la même forme sur chaque moitié de l'intervalle, et les deux moitiés totalisent 1. Le schéma prévu compare l'amplitude et sa densité sur ce même domaine.
En pratique
Pour prévoir où une mesure de position a le plus de chances d'aboutir, on examine |ψ|2, et non ψ. On intègre cette densité sur la zone choisie lorsque l'on veut une probabilité plutôt qu'une densité locale.
Avant tout calcul probabiliste, on contrôle que l'intégrale de |ψ|2 vaut 1. Si elle ne vaut pas 1 mais reste finie et non nulle, on normalise la fonction avant d'interpréter ses résultats.
Pour une grandeur autre que la position, comme l'énergie ou l'impulsion, la lecture directe de |ψ(x, t)|2 ne convient pas. On applique à la fonction d'onde l'opérateur quantique associé à la grandeur étudiée.
À ne pas confondre
Fonction d'onde et densité de probabilité. ψ peut prendre des valeurs complexes, tandis que |ψ|2 est une densité réelle. Dans l'exemple sur [0, 1], ψ(1/2) vaut √2, mais la densité au même point vaut 2 : aucune de ces valeurs locales n'est à elle seule une probabilité.
Fonction d'onde et grandeur observable. La fonction ψ décrit l'état sans être directement mesurable. Une énergie ou une impulsion s'obtient par l'opérateur correspondant ; une mesure de position, elle, se relie à |ψ|2. Le type de mesure indique donc quelle opération employer.
Limites et pièges
Une densité n'est pas une probabilité ponctuelle. Dans l'exemple, |ψ(1/2)|2 vaut 2, donc dépasse 1 sans anomalie. La probabilité s'obtient en intégrant cette densité sur un intervalle ; sur [0, 1/2], elle vaut bien 1/2.
Une fonction non normalisée n'a pas encore l'interprétation requise. Si l'intégrale de |ψ|2 ne vaut pas 1, les valeurs ne forment pas une distribution totale de position. Il faut d'abord normaliser ψ, lorsque cette intégrale est finie et non nulle.
Superposer ne signifie pas additionner des probabilités. Le principe porte sur les fonctions d'onde. On combine donc les amplitudes ψ, puis on calcule le module au carré de la fonction obtenue et on vérifie sa normalisation.
Pour aller plus loin
Les espaces de Hilbert, un cadre pour la mécanique quantique présente le cadre mathématique dans lequel s'organisent les états quantiques et leurs opérateurs.
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