caractère discret

Dans une enquête sur le nombre d'enfants par famille, on peut noter 0, 1, 2 ou 3, mais jamais 2,4 enfants. Les réponses se placent sur des valeurs séparées : on passe d'un nombre entier au suivant.

Le nombre d'enfants est donc un caractère discret. Le mot « discret » décrit ici des possibilités que l'on peut énumérer, et non des données secrètes ou peu visibles.

Un caractère statistique est quantitatif lorsque ses modalités sont des nombres sur lesquels des opérations ont un sens. Il est discret lorsque l'ensemble de ses valeurs possibles est fini ou dénombrable, c'est-à-dire que ces valeurs peuvent être mises en correspondance avec une partie des entiers naturels. Dans les exemples usuels de comptage, elles sont séparées par des intervalles sans valeur possible.

Si X désigne le nombre d'enfants d'une famille, X peut prendre les valeurs 0, 1, 2, 3, et ainsi de suite. Une valeur comme 2,4 est impossible pour une famille donnée. En revanche, la moyenne calculée sur plusieurs familles peut être 2,4 : ce résultat n'est pas une modalité du caractère observé.

Une valeur discrète n'est pas nécessairement entière. Un barème peut, par exemple, n'autoriser que 0 ; 0,5 ; 1 ; 1,5 point. Le critère décisif est l'ensemble des valeurs possibles, non leur écriture. Il faut aussi distinguer cet ensemble théorique des seules valeurs rencontrées dans un échantillon fini.

Une enquête relève le nombre d'enfants dans dix familles. Les dix données sont : 0, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4 et 5. Le caractère étudié est le nombre d'enfants par famille ; l'effectif total est 10.

1. Regroupons les réponses égales. Les valeurs 0, 1, 2, 3, 4 et 5 ont respectivement pour effectifs 1, 2, 3, 2, 1 et 1.

2. Vérifions le total : 1 + 2 + 3 + 2 + 1 + 1 = 10 familles. Chaque observation a donc été comptée une fois. La représentation matérialise ces six piles d'observations.

3. Entre 2 et 3 enfants, aucune valeur intermédiaire n'est possible pour une famille. Les modalités sont séparées : le caractère est discret.

4. La moyenne vaut (0 + 1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 + 5) / 10 = 23 / 10 = 2,3 enfants par famille. Ce contrôle confirme la somme 23, mais 2,3 reste une moyenne, pas une réponse possible d'une famille.

Dans une enquête, commencez par demander quelles réponses seraient possibles avant même de recueillir les données. Si elles peuvent être énumérées, comme un nombre d'enfants ou de défauts, traitez le caractère comme discret ; si toute valeur d'un intervalle est possible, un modèle continu convient mieux.

Pour représenter les effectifs, placez un bâton ou une pile de points à chaque valeur possible. Laissez visibles les séparations entre les valeurs : relier les sommets par une courbe suggérerait à tort que toutes les valeurs intermédiaires sont observables.

Pour résumer les données, les effectifs, fréquences et moyennes restent calculables. Vérifiez toutefois qu'un résultat comme 2,3 est interprété comme un résumé du groupe, et non comme une nouvelle modalité du nombre d'enfants.

Caractère discret et caractère continu. Un caractère continu peut prendre, en principe, toute valeur d'un intervalle, comme une durée mesurée. Un nombre d'enfants ne peut pas valoir 2,3 pour une famille : ce cas tranche en faveur du discret.

Caractère discret et caractère qualitatif. Les deux peuvent avoir une liste finie de modalités. Celles d'un caractère qualitatif peuvent être codées par des nombres, mais ces codes n'ont pas de sens quantitatif et les opérations effectuées sur eux ne sont pas interprétables. Les valeurs 0, 1, 2 enfants sont discrètes ; les réponses « oui » et « non » sont qualitatives.

Caractère statistique et variable aléatoire. Le premier décrit une information relevée sur une population ; la seconde associe une valeur numérique aux issues d'une expérience aléatoire. Le nombre d'enfants observé est un caractère, tandis que le nombre de points d'un dé lancé peut être modélisé par une variable aléatoire discrète.

Échantillon fini. Toute enquête finie ne montre qu'un nombre fini de résultats, même pour un caractère continu. Dix tailles arrondies ne deviennent donc pas discrètes parce que le fichier contient dix nombres ; examinez les valeurs possibles de la grandeur avant l'arrondi.

Arrondi ou regroupement. Une durée affichée à la seconde prend des valeurs entières dans le fichier, mais la durée sous-jacente peut varier continûment. Le saut visible de 1 seconde vient alors de l'instrument ou du codage ; conservez la nature continue de la grandeur et notez la précision d'enregistrement.

Entiers non obligatoires. Des valeurs autorisées tous les 0,5 point forment encore un ensemble discret. À l'inverse, le fait d'écrire des décimales ne prouve pas la continuité. Listez les valeurs admises ou identifiez la règle qui les engendre.

Dénombrable ne signifie pas toujours espacé uniformément. Un ensemble dénombrable peut avoir des écarts variables, voire des valeurs qui se rapprochent indéfiniment d'une limite. L'espacement régulier des comptages est un exemple fréquent, pas une condition générale ; le critère robuste reste la possibilité d'énumérer les valeurs.

caractère quantitatif — Situer les caractères discrets dans l'ensemble des informations numériques étudiées en statistique.

caractère continu — Examiner le cas où toute valeur d'un intervalle peut être envisagée et préciser le rôle de la mesure.

Discrète (variable aléatoire) — Passer d'un caractère observé à un modèle probabiliste portant sur un ensemble fini ou dénombrable de valeurs.