AlgèbreNotion · Glossaire
Chevalley Claude
Claude Chevalley est un mathématicien français dont l'œuvre relie notamment théorie des nombres, géométrie algébrique, groupes algébriques, algèbres de Lie et théorie des anneaux. Il a notamment démontré le théorème d'Artin-Chevalley : sur un corps fini, tout polynôme en n variables qui s'annule en zéro et dont le degré est strictement inférieur à n possède une racine non nulle. Ce résultat garantit ainsi l'existence d'une solution distincte de l'origine.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Situer les principaux repères du parcours de Claude Chevalley entre 1909 et 1984.
- Relier son nom à Bourbaki, aux groupes de Lie et à plusieurs domaines de l'algèbre.
- Vérifier sur F3 les hypothèses et la conclusion du résultat polynomial cité.
- Distinguer une racine non nulle d'un point dont toutes les coordonnées seraient non nulles.
En clair
En 1934, Claude Chevalley participe à la fondation du groupe Bourbaki. L'ambition est de reconstruire les mathématiques sur des bases rigoureuses. Cette exigence traverse une œuvre qui relie théorie des nombres, géométrie algébrique, groupes et anneaux.
Un résultat donne une idée de sa manière de faire. Sur un ensemble fini de nombres, certaines équations polynomiales ne peuvent pas avoir seulement la solution où toutes les variables valent zéro : leurs conditions forcent une autre solution.
Définition
Claude Chevalley (1909–1984) est un mathématicien français actif en théorie des nombres, géométrie algébrique, groupes algébriques, algèbres de Lie et théorie des anneaux. Après l'École Normale Supérieure, il se forme en Allemagne auprès d'Emil Artin et Helmut Hasse. Sa thèse de 1933 concerne la théorie du corps de classes dans les corps finis et les corps locaux.
Membre fondateur du groupe Bourbaki en 1934, il partage son projet de refondation rigoureuse des mathématiques. Sa carrière se déroule en partie aux États-Unis de 1938 à 1957, puis en France. Ses travaux sur les groupes de Lie paraissent en trois volumes entre 1946 et 1955. En 1970, son engagement politique le conduit à cofonder le mouvement pacifiste et écologiste Survivre et Vivre.
Le résultat appelé ici théorème d'Artin-Chevalley, parfois lemme de Chevalley-Warning, porte sur un polynôme à coefficients dans un corps fini. Le nombre de variables est noté n. Si le polynôme s'annule lorsque toutes les variables valent zéro et si son degré est strictement inférieur à n, alors il possède une autre racine dans ce corps fini : au moins une de ses coordonnées est non nulle.
Un exemple, pas à pas
Prenons le corps fini à trois éléments, noté F3, dont les valeurs sont 0, 1 et 2 et dont les calculs se font modulo 3. Considérons deux variables x et y, puis le polynôme f défini par f(x, y) = x + y. Les données sont donc n = 2 variables, un degré égal à 1 et le point (0, 0).
1. Au point (0, 0), on obtient f(0, 0) = 0 + 0 = 0. La première condition est satisfaite.
2. Le degré 1 est strictement inférieur au nombre de variables 2. La seconde condition est satisfaite.
3. Testons le point non nul (1, 2) : f(1, 2) = 1 + 2 = 3, donc 0 modulo 3.
2. Le degré 1 est strictement inférieur au nombre de variables 2. La seconde condition est satisfaite.
3. Testons le point non nul (1, 2) : f(1, 2) = 1 + 2 = 3, donc 0 modulo 3.
Le point (1, 2) est bien une racine non nulle. Le contrôle se refait avec (2, 1) : la somme vaut encore 3, donc 0 modulo 3. Cet exemple illustre la conclusion du théorème sans prétendre en constituer une démonstration générale.
En pratique
Devant le nom de Chevalley dans un texte d'algèbre, le premier geste consiste à regarder le contexte. Un polynôme sur un corps fini oriente vers le résultat d'Artin-Chevalley ; une discussion de groupes ou d'algèbres de Lie renvoie à une autre partie de son œuvre.
Pour appliquer l'énoncé polynomial, on vérifie successivement le domaine fini, l'annulation à l'origine et l'inégalité stricte entre degré et nombre de variables. Si l'une manque, cet énoncé ne suffit pas et il faut employer un autre argument.
Dans une histoire des mathématiques, la date 1934 signale son rôle de membre fondateur de Bourbaki. Les dates 1946–1955 signalent plutôt la publication de sa série sur les groupes de Lie.
À ne pas confondre
Claude Chevalley et Nicolas Bourbaki. Chevalley est une personne ; Bourbaki est le groupe dont il devient l'un des membres fondateurs en 1934. Un texte consacré à la refondation collective renvoie à Bourbaki, tandis qu'un résultat ou un parcours individuel peut renvoyer à Chevalley.
Groupes de Lie et algèbres de Lie. La source les place dans l'œuvre de Chevalley, mais les deux expressions ne sont pas interchangeables. Si le texte parle de groupes, on ne doit pas remplacer automatiquement ce terme par algèbres, ni l'inverse.
Corps finis et corps locaux. Les deux cadres apparaissent dans le sujet de sa thèse, alors que l'énoncé polynomial présenté dans cette fiche exige un corps fini. La seule mention d'un corps local ne suffit donc pas à appliquer ce résultat.
Limites et pièges
Degré à la frontière. La condition est degré strictement inférieur à n. Avec deux variables, un polynôme de degré 2 n'entre donc pas dans l'énoncé, même s'il s'annule à l'origine. Il faut alors examiner le polynôme par une autre méthode.
Racine non nulle. La conclusion ne dit pas que chacune des coordonnées est non nulle. Elle garantit un point différent de l'origine, donc un point dont au moins une coordonnée ne vaut pas zéro.
Existence, pas comptage complet. Dans la formulation retenue ici, le résultat assure au moins une autre racine. Il ne fournit pas à lui seul la liste de toutes les racines ; dans l'exemple, (1, 2) suffit à conclure, même si (2, 1) convient aussi.
Un nom ne désigne pas toute une œuvre. Réduire Chevalley au seul résultat polynomial ferait disparaître ses travaux sur les groupes, les anneaux, la géométrie algébrique et la théorie des nombres. Le contexte du texte consulté doit guider l'interprétation.
Pour aller plus loin
Bourbaki Nicolas — Situer le collectif que Chevalley contribue à fonder en 1934 et son projet de refondation rigoureuse.
D'Euclide à Bourbaki, la réforme permanente — Replacer l'ambition de Bourbaki dans une histoire plus large des transformations de l'écriture mathématique.
groupe de Lie — Aborder le domaine auquel Chevalley consacre une série de trois volumes entre 1946 et 1955.
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